«Математика ― наука молодых»

Что представляет собой современная математика? Это чисто фундаментальная наука или у нее есть практические приложения? Как все начиналось 300 лет назад, когда в нашей стране возникла академия наук? Правда ли, что первыми учеными были именно математики? Почему не присуждается Нобелевская премия по математике? Как вообще надо относиться к премиям? Об этом рассуждает академик Валерий Васильевич Козлов, главный научный сотрудник Математического института им. В.А. Стеклова РАН, академик-секретарь отделения математических наук РАН.

― Валерий Васильевич, вы теперь полный кавалер ордена «За заслуги перед Отечеством» ― недавно вам вручили четвертый по счету орден. Оказывается, полных кавалеров очень мало, меньше сотни в нашей стране. Что ощущаете по этому поводу?

― Я и не думал, что окажусь полным кавалером этой очень высокой государственной награды. Сейчас у нас великий праздник ― 300-летие Российской академии наук, и в связи с этим праздником мои коллеги удостоены наград. Юрий Сергеевич Осипов ― я с ним долго работал в президиуме академии наук, мой коллега, тоже математик ― был директором Математического института им. В.А. Стеклова до меня, я его сменил. Он удостоен звания Героя труда России. Геннадий Андреевич Месяц ― мой коллега, с которым я довольно долгое время проработал в академии наук в должности вице-президента, а до этого мы вместе работали в высшей аттестационной комиссии: он был ее председателем, я ― главным ученым секретарем, одновременно заместителем министра образования. Однажды я слышал, как наш президент Владимир Владимирович Путин сказал примерно так: «Мы все на своем месте должны, как святой Франциск, ежедневно мотыжить участок, который нам Господом отведен, и тогда мы добьемся успеха». 

Я, по-моему, честно мотыжил всю жизнь свой участок. Только этот участок ― два бескрайних поля: математики и механики. Сейчас я академик-секретарь отделения математических наук РАН. Высокую государственную награду я рассматриваю как позитивную оценку со стороны государства, его руководства. Значит, они ценят и деятельность нашего математического сообщества, наших научно-исследовательских институтов.

― У нас в обществе периодически возникают такие настроения, что каждая наука должна иметь практическую отдачу, а без этого она не нужна. Даже возникают разговоры о закрытии некоторых институтов, потому что не видны результаты их работы. В отношении математики такого никогда не было? Ведь мало кто понимает, что вы делаете.

― Это очень правильный, но непростой вопрос. Быстро и кратко, наверное, не ответишь, потому что математика очень широкая, условно и грубо делится на чистую, или фундаментальную и прикладную. Граница между ними зыбкая, условная. Популярна точка зрения, что математика развивается в соответствии со своими законами; есть внутренние пружины, которые, может, и не видны посторонним, а там возникают проблемы ― одна цепляет другую. Эта точка зрения ведет свое начало от яркого доклада Давида Гильберта на Втором международном математическом конгрессе, который был в 1900 г. Он сделал доклад, где представил около трех десятков проблем, которые, по его мнению и мнению коллег, с которыми он это обсуждал, стали стержневыми, ключевыми для развития математики. Их решение сильно бы продвинуло вперед математику как науку.

С другой стороны, на Первом международном математическом конгрессе Анри Пуанкаре озаглавил свой пленарный доклад так: «Математика и математическая физика». Более точный смысл, наверное, был бы такой: математика и теоретическая физика. Он в своем докладе формулировал другую точку зрения: что математика движется вперед, не только исходя из решения и обдумывания проблем, возникающих внутри математики, хотя, конечно, это очень важные проблемы. Но еще более важно, по мнению Анри Пуанкаре, иметь контакты со смежными областями, в первую очередь такими, которые математизированы в наибольшей степени. В первую очередь имеется в виду теоретическая физика. Взаимодействие с этими областями дает математикам много принципиально новых проблем, и это взаимодействие очень плодотворно как для математики, так и для тех областей, с которыми она взаимодействует. Именно это, пожалуй, в большей степени развивает и движет математику вперед.

― С какой точкой зрения вы больше согласны?

― На самом деле, наверное, и то правда, и это. Надо решать внутренние проблемы и стремиться взаимодействовать с окружающим миром, с другими областями. Это интересный вопрос: есть ключевые, сложные, знаменитые проблемы в математике, и некоторые из них в конце концов решаются, это вызывает большой резонанс.

― Приведите пример, когда такие задачи были решены.

― Допустим, была знаменитая проблема Ферма, над которой трудилось очень много математиков. Она была даже более популярна вне профессионального сообщества, потому что просто формулируется, так что человек, который понимает, в чем там дело, сразу хочет справиться с этой проблемой. Тем более что за ее решение предлагали денежную сумму.

В итоге она была решена. Первые публикации содержали, по мнению профессионалов, некоторые «дыры», потом их удалось залатать. Премии выданы, денежные премии, наверное, тоже. Спрашивается: что это дало? Можно сказать и так: ничего. Но это с утилитарной точки зрения. Это поверхностный взгляд, потому что по мере обдумывания этой проблемы в смежных областях ― теории чисел и алгебре ― возникли новые идеи, концепции. Сначала робко, применительно к этой задаче, потом они расширялись, обобщались. Это привело к прогрессу. Тот путь, по которому прошли математики, дал очень много самой этой науке.

Можно вспомнить более позднее решение Г.Я. Перельманом гипотезы Пуанкаре о трехмерной сфере. Вообще-то, я бы сказал, что ничего удивительного в этом утверждении нет.

― В каком?

― В том, которое составляло гипотезу Пуанкаре: если у нас есть гладкое трехмерное многообразие и при этом оно односвязно в том смысле, что любую замкнутую кривую на ней можно продеформировать в точку, тогда это будет трехмерная сфера. Это не удивительно.

Но доказательство оказалось делом очень сложным. Это утверждение можно сформулировать для поверхностей любой размерности ― например, для двумерных, которые мы хорошо себе представляем, это вообще тривиально. Для многомерных обобщение этой гипотезы было сделано до Г.Я. Перельмана. Он взял последний аккорд в решении этой проблемы ― то, что не удавалось другим математикам. И в совокупности результаты предшественников и его собственные привели к решению проблемы.

Итак, само по себе это утверждение не удивительно, вопрос в том, как доказать. В процессе этого долгого пути удалось сформулировать ряд новых задач, новых плодотворных подходов, которые оказались полезными и в других областях.

― Вы тоже решили ряд математических задач. Расскажите об этом.

― Есть знаменитые задачи. Они знаменитые, потому что их формулировали и пропагандировали известные математики. В каждой области есть свои трудные задачи, решения которых все ждут, и нужно уметь отвечать на эти вопросы. Я тоже занимался проблемами, которые были известны давно. Один пример из теории устойчивости. Ее создатель ― академик российской, тогда еще Императорской, академии наук Александр Михайлович Ляпунов.

― Улица имени которого находится рядом с вашим институтом.

― Да, он был учеником нашего знаменитого академика Пафнутия Львовича Чебышева, деятельность которого сильно продвинула нашу науку, среди его учеников очень много знаменитых ученых. Докторская диссертация А.М. Ляпунова ― «Общая задача об устойчивости движения». Одна из этих проблем упоминается и в школьном курсе физики ― это принцип Торричелли. Если у нас есть какая-то механическая система и она находится, допустим, в поле силы тяжести или в каком-то другом силовом поле, то когда это равновесие будет устойчивым? Принцип Торричелли говорит о том, что, если у нас система в поле силы тяжести, устойчивое равновесие ― это тогда, когда центр тяжести занимает самое нижнее положение, когда потенциальная энергия минимальна. Тогда уменьшить ее невозможно, и это самое устойчивое ее положение равновесия.

Если мы попытаемся распространить эту концепцию на самые общие системы, которые описываются дифференциальными уравнениями Лагранжа, как это принято в механике, то сам Лагранж, который был великим творцом и математики, и механики одновременно, сформулировал так: равновесие только тогда будет устойчивым, когда в равновесии у нас минимум. Но верно ли обратное?

― То есть неустойчивость, наоборот, должна быть на максимуме?

― Не обязательно максимум, бывает еще «седло»: представьте, что мы ставим точку где-то в середину этого седла, и точка может по этому седлу только двигаться. Это не минимум, потому что она может пойти вниз, но и не максимум, потому что она по этому седлу может пойти вверх. Но все равно это неустойчивое равновесие, и это доказать несложно. Эта проблема, которую сформулировал А.М. Ляпунов, не решена в общем случае до сих пор. Важная это проблема или нет? С точки зрения приложений она существенно более важная, чем примеры, о которых я говорил.

― А какие тут возможны приложения?

― Приложения сплошь и рядом: вот у нас, допустим, мост ― это упругая конструкция, там все не абсолютно твердое. Там в состояниях равновесия всегда совокупная потенциальная энергия системы. Сумма силы тяжести плюс упругая энергия должна иметь, если мы хотим достичь устойчивости, минимум. Если не минимум, то мы уверены, что она рассыплется. Такой мост может просто обрушиться. Поэтому, согласитесь, это чрезвычайно важное утверждение.

Но в самом общем случае, когда у нас система дифференциальных уравнений Лагранжа самая общая, это, к сожалению, доказать очень сложно. Эта проблема в полном объеме пока не решена. Но в некоторых принципиально важных с точки зрения математической и теоретической физики случаях она вполне четко формулируется, и я в качестве примера хотел привести как раз мой результат.

Есть такая теорема Ирншоу, она приводится во всех учебниках по электродинамике. Ее смысл следующий: у вас есть свободная система как положительных, так и отрицательных зарядов, пусть они взаимодействуют друг с другом, и эта система находится в равновесии. Так вот, все такие равновесия будут неустойчивы. Физики считают этот факт давным-давно установленным. Теорема была сформулирована английским физиком Сэмюэлом Ирншоу в 1842 г. Все тут ясно. А на самом деле ничего не ясно с точки зрения математики.

― Почему так?

― Если доказывают это утверждение, берут полные строгие уравнения, заменяют их более простыми линейными уравнениями. Для линейных систем эта теорема простая, ее несложно доказать. А в самом общем случае это факт правильный или нет? Для математиков вопрос должен ставиться именно так. Как говорил А.М. Ляпунов: если задача механики сформулирована как задача математики, ее надо решать как задачу математики, ничего не упрощать. Верна ли эта теорема Ирншоу в общем, нелинейном случае?

Да, это так. Мне удалось это доказать, при этом для этой цели я придумал нестандартный способ доказательства неустойчивости, основанный на разложениях решений в ряды по обратным степеням времени с коэффициентами, зависящим от логарифмов времени. Этот результат я считаю хорошим, потому что он касается реально важной темы, и мне удалось эту проблему полностью решить.

― Как бы вы сформулировали результат этой работы?

― Любое равновесие свободной системы зарядов в трехмерном пространстве будет неустойчивым. Кстати, сама теорема Ирншоу сыграла большую роль в развитии физики, когда пришли к идее, что надо как-то изучать строение атомов. А что такое атом? Его не видно, поэтому сначала была такая модель: есть ядро, нейтроны, протоны ― оно заряжено положительно, а вокруг ― электроны, заряженные отрицательно. И поскольку электроны друг от друга отталкиваются, а к ядру притягиваются, то что же получается? Если они не движутся друг относительно друга, значит, они находятся в равновесии. Но по теореме Ирншоу такое равновесие неустойчиво. Это значит, мы их чуть-чуть отодвинем — и они разлетятся. А мы же знаем, что они никуда не разлетаются, атомы живут вечно.

― Как же решается этот парадокс?

― Физики говорят: значит, они должны двигаться, именно движение создает устойчивость. И первая модель атома была такая, что электроны движутся, как планеты вокруг Солнца.

― Возникла планетарная модель атома.

― Да, а уже потом они пришли к квантовой теории. Мой результат мне нравится вот чем. Во-первых, это сложная математическая проблема, и стандартными методами, разработанными великим А.М. Ляпуновым и его последователями, она не решалась. А я для ее решения придумал способ, который можно применять и к другим задачам, и он уже использовался и мною, и некоторыми моими последователями. Во-вторых, этот ответ — не просто какое-то умствование, это все-таки связано с анализом задачи, имеющей существенное значение. Но общая проблема А.М. Ляпунова пока ждет своего решения.

― Ее пытаются решить?

― Многие пытались ее решить, да я и сам пытался, но не решил в целом. Задача сложная. Считается, что утверждение, к которому я пришел, — лучшее в круге вопросов, но оно пока не закрывает всей проблемы. Чтобы эта проблема была еще более популярной, о ней следует рассказывать, она должна войти в список нерешенных задач, и хорошо бы за ее решение еще и присуждать какую-то премию.

― А у вас бывали случаи, когда за решение каких-то математических задач вас материально награждали?

― Конечно. Одна из таких ― премия Туринской академии наук (Италия). Она присуждается раз в десять лет за лучшие результаты в области теоретической механики и математической физики за работы в том числе по теории устойчивости. Для любого ученого и математика награждение научной премией или медалью ― это, конечно, признание со стороны коллег, в данном случае математического сообщества. И здесь, мне кажется, материальная составляющая не так важна. Здесь больше эмоциональное удовлетворение, стимул для движения вперед.

― Валерий Васильевич, я слышала историю, что, когда Альфред Нобель учреждал премию, он отказался награждать математиков неслучайно. Якобы это было связано с его юношеской любовью. Он сделал предложение руки и сердца, но девушка предпочла другого, который был математиком. И Нобель ему отомстил таким образом. Не обидно лично вам, что математикам не дают Нобелевскую премию?

― Это исторический факт. Речь идет о шведском математике Магнусе Миттаг-Леффлере, одном из любимых учеников знаменитого Карла Вейерштрасса. Магнус Геста Миттаг-Леффлер был богатым человеком, аристократом. На свои средства основал в Стокгольме университет, математический журнал Acta Mathematica ― один из самых известных сейчас журналов. Он сыграл очень позитивную роль в судьбе Софьи Ковалевской. Она тоже была ученицей Карла Вейерштрасса. Он пригласил ее работать в этом университете. Найти квалифицированную работу женщине тогда было непросто, и он ей в этом помог.

Да, математикам не присуждают Нобелевские премии. Ну и что? Нобелевские премии как-то приземлены, они все-таки даются в области естественных наук, а математика туда не попадает. Математика ― это что-то более возвышенное, так мы будем считать. Это во-первых.

Во-вторых, когда только начиналось присуждение Нобелевских премий, отношение к ним было зачастую настороженное. Льва Николаевича Толстого номинировали на эту премию, и он отказался, считая, что «деньги могут приносить только зло».

А потом с определенного времени (выражу свою точку зрения) эта премия оказалась сильно политизированной. Ее дают «своим». В советское время в основном эту премию получали физики, и наши получили восемь премий. А представляете, один университет в Кембридже получил больше 80 Нобелевских премий! Один Тринити-колледж — больше 40 премий по физике!

― Это не означает, что сотрудники этих университетов круче наших физиков?

― Совершенно не означает. Мы, конечно, хорошо знаем некоторых лауреатов Нобелевской премии, но не в связи с этим, а в связи с тем, что это действительно выдающиеся, великие ученые. В новейшее время, особенно когда Россия заявила, что у нее свой путь, случилось полное охлаждение. И что, наши ученые стали настолько хуже работать? Нет, я считаю, что это не так.

Кстати, вы говорите, что математикам Нобелевские премии не присуждают. А все-таки был один советский математик, Леонид Витальевич Канторович, который был удостоен Нобелевской премии, но по экономике. Он специалист в области функционального анализа и вариационного вычисления в широком смысле. Работал в структурах, имевших отношение к Госплану. Он придумал и реализовал метод линейного программирования, позволявший рассчитывать довольно сложные экономические задачи, когда идет планирование в гигантских масштабах, таких как, допустим, экономика СССР. И, кстати, среди американских математиков тоже был один ― Джордж Нэш, который был удостоен Нобелевской премии по экономике. Это очень известный математик, о нем в Голливуде был снят фильм «Игры разума».

― В итоге математики создали свою премию ― Филдсовскую, которую называют «математической Нобелевкой».

― Она все-таки присуждается относительно молодым людям, до 40 лет. К тому же денежный эквивалент смешной ― это больше престиж. Среди лауреатов Филдсовской премии довольно много математиков, которые вышли из России. Хотя там тоже много политики. Присуждают российским математикам обычно тогда, когда они уже давно живут на Западе, занимают там устойчивые позиции.

Досадно, конечно, но, в конце концов, дело-то не в этом, а в том, что российская фундаментальная математика до сих пор находится на очень хорошем уровне и здесь нам стыдиться нечего.

Я лет пять назад познакомился с материалами нашего академического института, который занимается статистикой в области науки. В частности, там был такой любопытный анализ, как различные направления науки у нас в России смотрятся на фоне мировой науки. Допустим, берем математику: кто занимает первую позицию, кто вторую и т.д. Так вот, на первое место там поставлены США, вторую позицию занимает Россия. Я бы сказал, что это, наверное, справедливо. В разговоре с нашим первым филдсовским лауреатом академиком Сергеем Петровичем Новиковым, работающим у нас в институте, мы сошлись во мнении, что, если учесть всех наших математиков, которые уехали за границу и там работают, первое место было бы за нами.

― А если взять прикладную математику?

― Да, там дело обстоит не так хорошо, потому что прикладная математика требует большего: нужны инструменты. Один из главных инструментов ― современные вычислительные машины. Здесь, к сожалению, мы отстаем. Если мы возьмем историю создания вычислительной техники, то был определенный паритет между нами и США. Эта вычислительная техника нужна была для реализации атомного проекта и космической программы, где вычисления играют ключевую роль. Тогда были созданы наши оригинальные вычислительные машины. Потом, начиная с какого-то момента, видимо, было решено, что все можно купить на Западе. И покупали. А теперь нельзя ничего такого купить, придется сокращать это отставание.

― Это возможно?

― Возможно. Я понимаю, прошло много лет. Это означает, что напрягаться надо больше. Но это же не вопрос математики. Как устроена вычислительная машина, мы знаем очень хорошо, потому что сами их конструировали. Речь идет о состоянии микроэлектроники в стране. Нужны чипы, из которых все это потом делается. Но микроэлектроника нужна не только для этого, и сейчас это четко осознано, и, думаю, в нашей стране будет сделан рывок в этом направлении. Кстати, наш президент академии наук Геннадий Яковлевич Красников ― как раз специалист в этой области. Он очень компетентный человек в этой сфере. На последнем нашем общем собрании он сделал прекрасный доклад о состоянии и перспективах развития микроэлектроники в нашей стране. Мне кажется, мы можем реализовать новые идеи в микроэлектронике.

Более того, вычислительные машины для специальных целей у нас очень хорошие, и своя элементная база, и все прочее. Но они не универсальные, на них нельзя решать те задачи, которые интересны физикам, химикам, математикам. Однако есть потенциал, и, я думаю, он должен быть реализован.

― Валерий Васильевич, какая из ваших многочисленных наград вам дороже всего?

― Первая ― самая, наверное, важная. Когда мне было 27 лет, я был удостоен премии Ленинского комсомола. Это высшая научная награда для молодых ученых в СССР. Кто такой молодой ученый? Это возраст до 33 лет. Объяснение ― вроде потому, что это возраст Христа. В атеистическом государстве этот критерий четко выполнялся. А когда наступило новейшее время, по этому поводу появились какие-то сомнения, сразу округлили до 35 лет. Почему 35? Странно, мне кажется.

Но, так или иначе, 29 октября 1977 г. я достал из почтового ящика газету «Правда», и на первой странице был опубликован список лауреатов премии Ленинского комсомола этого года, и мое имя тоже. Это, конечно, был очень позитивный и волнительный момент. Сразу же ― интервью со мной…

― Это было ваше первое интервью?

― Пожалуй, да. Были и телевизионные репортажи. Наверное, это произвело впечатление на многих. На следующий год я защитил докторскую диссертацию по этим материалам. Все-таки первые впечатления, наверное, самые яркие.

Но и последняя по времени государственная награда,  конечно, для меня очень важна. Я до сих пор под впечатлением. Ведь вручил мне эту награду президент нашей страны в день 300-летия академии в Кремлевском дворце на виду у моих коллег, которых я безмерно уважаю.

Я был вице-президентом академии наук 21 год, и это большой жизненный период. Сейчас я на второй срок избран академиком-секретарем отделения математических наук РАН ― это 100 человек. Меня дважды избирали тайным голосованием, и, вы представляете, ― единогласно! Это приятно, но очень ответственно. Слава богу, третьего раза не будет ― все-таки достаточно я проработал на этой позиции, к руководству должны прийти следующие, более молодые поколения, в том числе в отделение математических наук.

― Как вы считаете, математика ― наука молодых?

― Да, математика ― наука молодая и молодых в том смысле, что в ней, как правило, можно себя реализовать и сделать что-то серьезное в более раннем возрасте, чем в других науках. Я очень верю в наши следующие поколения. А если уж брать мой родной Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, так просто сердце радуется, когда видишь совсем молодых людей — и у них все получается. На них всегда можно опереться. Значит, у нас было великое прошлое, благодаря чему у нас прекрасное будущее. 300 лет ― это немалый срок. Именно тогда наша математика и началась. И как? Были приглашены два выдающихся математика ― Даниил Бернулли и Леонард Эйлер. Первому было всего 25 лет. Но он уже имел репутацию одного из самых талантливых и перспективных математиков Европы ― тогда о мире не говорили, потому что США еще не было.

Потом он настоял на том, чтобы пригласили Леонарда Эйлера ― его младшего коллегу. Тому было вообще 19 лет. Они оба из Швейцарии, из Базеля. Эйлер думал, что будет заниматься математикой, но Бернулли написал, что по математике нет позиций, но есть по физиологии. Эйлер приехал, сначала был физиологом, потом освободилось место по физике, потом ― по математике.

В старом здании президиума РАН на Ленинском, 14, на втором этаже установлены четыре бюста: М.В. Ломоносов, Леонард Эйлер, П.Л. Чебышев, четвертый ― историк Аарон Лерберг, при этом тоже приезжий. Под бюстом Эйлера написано: физиолог, физик, математик. Мои ученики очень просили показать им это историческое здание и эти бюсты. Я их подвел к бюсту Эйлера, показал. Они говорят: какой же Эйлер физиолог? А история была именно такая.

XIX в. ― это, конечно, Пафнутий Львович Чебышев и его ученики. До П.Л. Чебышева у нас была такая звезда, как Н.И. Лобачевский, но его деятельность не дала такого большого импульса и он не был, к сожалению, признан в России и в академии не работал. Его ученики ― А.М. Ляпунов, А.А. Марков. Марковские цепи ― это теория вероятности, знаменитейшая вещь.

А ХХ в. ― удивительное дело, россыпь талантов. А.Н. Колмогоров, М.В. Келдыш, И.М. Виноградов, Н.Н. Боголюбов, С.Л. Соболев, М.А. Лаврентьев, Л.С. Понтрягин... Можно перечислять долго, всех здесь не назовешь. И многие из них работали в нашем институте, чем я тоже очень горжусь.