Многие из нас завязывают шнурки неправильно. В этом, ясное дело, нет ничего преступного — просто узел распутывается слишком легко и быстро. Задумайтесь над тем, как именно вы создаете привычный «бантик»: сначала делаете первичное перекрестие шнурков, один над другим, а потом, тем же движением, ушки. И вот здесь-то и кроется главная ошибка: когда оба узла завязаны в одну сторону, образуется «бабий узел», непрочный и ненадежный. Хитрость в том, что первичный и вторичный узлы надо делать в разные стороны. Да, итоговые результаты выглядят почти идентично. Но разница между ними колоссальная.
Теория узлов ставит перед собой цель выяснить, почему так происходит, что такое узел вообще и сколько их на свете. Но, чтобы приступить к изучению узлов, нужно для начала найти способ запутывать и распутывать один и тот же узел, не завязывая случайно в процессе новый. Как это сделать? Возьмите небольшой шнурок или канат, а затем соедините его концы так, чтобы образовалось единое сцепленное кольцо. Вы получили так называемый тривиальный узел. Теперь, как бы вы ни крутили и ни запутывали его, этот узел останется тривиальным до тех пор, пока вы не разорвете место сцепления.
Две диаграмы тривиального узла, во втором случае у узла есть два пересечения
Даже тривиальный узел можно запутать так, что он будет выглядеть сложнее узла с десятком пересечений, все еще оставаясь «простым» сцепленным кольцом. Это и есть одна из основных проблем теории узлов — их трудно различать визуально. Как изучать объекты, если вы даже не можете быть уверены, что не перепутаете их в процессе? Английский математик Алан Тьюринг писал в своей последней опубликованной работе в 1954 г.: «До сих пор не было найдено ни одного систематического метода, который бы позволял подтвердить, что два узла — это один и тот же узел».
С этой проблемой еще в конце XIX столетия столкнулся шотландский физик Питер Гатри Тэйт. Он занимался теорией узлов и составил для них «периодическую таблицу», в которую вносил так называемые простые узлы. Дело в том, что узлы подвержены сложению: можно взять два трилистника и сцепить их в новый узел с большим числом пересечений. Но некоторые узлы невозможно «разложить» — они и называются простыми. Существует лишь один тривиальный узел с нулем пересечений, один «трилистник» с тремя пересечениями, одна «восьмерка» с четырьмя пересечениями, два простых узла с пятью пересечениями, три с шестью, семь с семью…
Таблица всех простых узлов, имеющих семь или меньше пересечений (не включая зеркальные)
Чем больше у узлов становилось пересечений, тем сложнее было отличить их друг от друга, тем сложнее было заполнять периодическую таблицу простых узлов. Вместе с двумя другими математиками, Томасом Керманом и Чарлзом Литтлом, Питеру Тэйту удалось найти каждый из 21 узлов с восьмью пересечениями, 49 узлов с девятью пересечениями и 165 узлов с десятью пересечениями. И даже тогда математик пожимал плечами — он не мог быть абсолютно уверен, что среди этих узлов нет повторяющихся. Как оказалось 70 лет спустя — был. Но всего один.
Проблему идентичных узлов и надежного универсального способа отличать узлы друг от друга математики не решили до сих пор. Алгоритмы, позволяющие это делать, требуют колоссальных вычислений — настолько больших, что даже суперкомпьютеры решали бы эту задачу тысячелетиями. Однако математики нашли несколько способов в некоторых случаях различать узлы. Один из основных — это трехцветная раскраска.
Раскрашенный в три цвета трилистник
Трехцветная раскраска работает просто: узел либо можно раскрасить в три цвета по определенным правилам, либо нет, и по этому признаку один узел можно отличить от другого. Правила тоже довольно простые: должны быть использованы по меньшей мере три цвета, и на каждом перекрестке три нити должны быть либо все одного цвета, либо разного (нить сверху на перекрестке цвета не меняет, а нить снизу считается двумя разными нитями). Тривиальный узел нельзя раскрасить в три цвета, как его ни крути и ни запутывай. Трилистник же можно раскрасить в три цвета. Следовательно, тривиальный узел не считается трилистником.
Кроме трехцветности, существует еще несколько способов дифференцировать узлы по тому или иному признаку. Это полиномы Александера и HOMFLY, инварианты Васильева и число связанных компонентов. Пользуясь этими методами вкупе с компьютерными вычислениями, к 2020 г. математики смогли распознать все простые узлы вплоть до сложности в 19 пересечений. Всего математике сейчас известны 352 152 252 простых узла.
До недавнего времени теория узлов так и оставалась чистой математикой, знанием ради знания. Однако в 1989 г. французский химик Жан-Пьер Саваж, впоследствии нобелевский лауреат по химии, использовал теорию узлов для того, чтобы синтезировать новую, особым образом «запутанную» молекулу. Оказалось, что, «завязывая» молекулы в узлы, мы можем менять свойства материалов. Пока это направление химии развивается, но потенциально оно может помочь нам создавать сверхпрочные ткани и лекарства с особыми свойствами.
Теория узлов медленно, но верно становится все более востребованной. И кто знает, в какой момент между одеждой, что мы носим, материалами, из которых мы создаем, и наушниками, завязавшимися в узел в нашем кармане, будет куда больше общего, чем кажется на первый взгляд.
Источник фото на главной и на странице: Philip Oroni on Unsplash
