Продолжаем цикл публикаций по материалам программы «Очевидное — невероятное». Предлагаем вашему вниманию диалог Сергея Петровича Капицы с выдающимся математиком академиком Владимиром Игоревичем Арнольдом (1937—2010). Программа вышла в эфир в 2009 г.
С.К.: Мне хотелось бы поговорить об общих проблемах математики, иллюстрируя это конкретными примерами из истории науки, из собственного опыта Владимира Игоревича и из всех тех «кирпичей», из которых складывается это великолепное здание.
В задаче есть две стороны: ее постановка и решение. Решателей задач всегда находится много, но первый и самый главный шаг— постановка задачи. В начале XX в. состоялся II Международный конгресс математиков, на котором великий немецкий математик Давид Гильберт предложил 23 проблемы. Их решали, по-моему, весь XX в. Интересно, можно ли сегодня сделать то же самое? И если да. то как бы это выглядело? У меня складывается впечатление, что сейчас решателей больше, чем постановщиков.
В.А.: Конечно, проблема существует, и давно. Хотел бы процитировать моего уважаемого учителя А.Н. Колмогорова, который говорил, что его упрекают в том. что он математик без теорем, который никогда ничего не доказывает и который гораздо больше умеет ставить задач, чем их решать. Но я считаю, что это не недостаток, а похвала. Колмогоров говорил, что ставить задачи, придумывать, каким вопросом заниматься, — это огромное достоинство, которое ценится выше, чем умение их решать.
С.К.: Мне кажется, это очень важное замечание. Но далеко не все так считают.
В.А.: Я полностью согласен с А.Н. Колмогоровым. Хотя не согласен с тем, что он плохо решал. Когда я в 18 лет принес ему свою первую статью, он мне сказал: «Зачем нужен научный руководитель? Он должен полностью переписать от первого до последнего слова первую работу каждого своего студента. Искусство решать задачи — это совсем не то, что искусство писать научные статьи. И ученик, который гениально все решает, может ничего не понимать в сущности дела и потому написать плохо. Поэтому я переписываю всем своим ученикам их первую работу. А после этого, если ученик хороший, он понимает, в чем разница, и вторую уже переписывать не приходится».
С.К.: Это прекрасный урок.
В.А.: А после этого он еще сделал такое дополнение. «Заметьте, — сказал он, — вот у нас. например, сейчас много молодых математиков, но они совершенно не растут».
С.К.: То есть они не ставят новых задач?
В.А.: Я назвал человек 20 моих сверстников, которые мне очень нравились. А Андрей Николаевич мне сказал в ответ: «У них действительно замечательные первые работы, но подождите лет 20, и вы увидите, что из всего вашего списка только двое настоящие. А остальные могут решать, когда им научный руководитель скажет, что делать. Создать самим новое направление, теорию, понять, чем стоит заниматься, в какую сторону должна развиваться наука. — это другое искусство. Им обладают очень немногие. Из тех. которых вы назвали. я вижу двоих».
С.К.: Интересно, кого он назвал...
В.А.: Он никого не назвал. Но я после этого встретил замечательного математика В.А. Рохлина и рассказал ему эту историю. И Рохлин мне говорит: «Колмогоров гениально угадал, я знаю, кто эти двое».
С.К.: И он сказал? Вы можете повторить эти имена?
В.А.: Сергей Петрович Новиков и Владимир Игоревич Арнольд.
С.К.: Можно ли воспитать таких людей? Или это талант и научные руководители должны выделять людей, которые обладают такой способностью к постановке задач? Меня сейчас беспокоит, что сегодня есть уклон в прикладные направления, где задача вообще формулируется вне самого предмета. Я в принципе не люблю это разделение на прикладные и фундаментальные исследования.
ВА.: Мне на это трудно ответить, и вот по какой причине. У меня сотни учеников, ноте из них, которые не понимают, чем надо заниматься, обычно у меня не остаются. Они осознают, насколько я ценю самостоятельность в мышлении. Расскажу маленькую историю. Однажды в Париже намой семинар пришла студентка четвертого курса Парижского университета и сказала, что хочет у меня учиться. Я сказал, что посторонних не беру. Потом говорю, что у меня есть статья «Математический тривиум», в которой примерно 100 задач, очень легких. Мои студенты в Москве их решают за три часа. Она спросила, можно ли неделю их порешать. Через неделю приходит, первая задача решена неверно, вторая — неверно, 96-я тоже неверно. Я говорю, что не беру ее. Она огорчилась, но спросила, можно ли через неделю еще раз прийти. Приходит и говорит: «Профессор, в прошлый раз у меня было очень мало времени, и я хотела за три часа решить 100 задач. Это трудно. А в этот раз я вам приношу только десять первых задач». Смотрю решение: первая верно, вторая верно, десятая верно. За десять недель она решила все 100 задач. «Молодец, — говорю ей, — теперь ты мне подходишь. Ты просила тему для диссертации, я тебе дам задачу, какую надо решать». А она мне в ответ: «А вот этого не будет. Я все это время ходила на ваш семинар, слушала, что говорят люди, что говорите вы сами. И задачу, которой я хочу заниматься, я придумала себе сама».
С.К.: Вот это уже настоящая ученица.
В.А.: Именно. Во-первых, она за десять недель выучила всю математику, а во-вторых, оказалось, что еще и способна самостоятельно ставить задачи. Задача, которую она поставила, была прекрасная, она написала диссертацию на эту тему.
С.К.: Это именно то, о чем я хотел сегодня говорить. Мне кажется, у нас очень серьезный перекос в сторону решателей.
В.А.: Что касается этого перекоса, приведу пример. Он называется «проблема Гильберта № 16». В качестве решателя выступает сам Гильберт. Кстати, не надо думать, что все 23 проблемы, которые Гильберт сформулировал, были новыми. Некоторые были не его, и даже были такие, которые за три года до того, как он их сформулировал, были решены и опубликованы. Может быть, он это даже знал и нарочно не хотел цитировать, а может быть не знал. Но в 16-й проблеме произошло следующее. Там проблема была такая: имеется алгебраическая кривая шестой степени, уравнение f(x, у) = 0, где f— многочлен шестой степени. Какой может быть топология данной кривой? Как расположены ее компоненты друг относительно друга? Например, если многочлен второй степени, то это могут быть эллипс, гипербола, парабола.
А перенести на более высокие степени — это 16-я проблема. Это очень старая общематематическая задача. Для уравнений, например, третьей и четвертой степеней это сделали Декарт и Ньютон, а вот для шестой оставалось неизвестным. И Гильберт говорил: я подумал как следует и нашел, что 11 частей, из которых может состоять самая большая кривая шестой степени (это правильный ответ), могут быть расположены только следующими двумя способами.
С.К.: И указал.
В.А: Да. Но его доказательство так никогда и не появилось до его смерти.
С.К.: А в чем же тогда загадка?
В.А.: Около 1970 г. ко мне обратился ректор Московского университета и великий математик И.Г. Петровский. Оказалось, что в Нижнем Новгороде (тогда Горький) у физика А. А. Андронова есть ученик Д.А. Гудков, который, используя мои математические методы и физические методы Андронова, сделал большие успехи в 16-й проблеме Гильберта. Он написал диссертацию, и надо оценить, правильная она или нет, давать ли ему за нее докторскую степень. Я стал читать и обнаружил, что это очень интересная работа и она совершенно правильная, что ответ у Гильберта был неправильный, а у Д.А. Гудкова правильный. Я еще вдобавок заметил, что эта задача очень тесно связана с квантовой теорией поля, чего Гудков не знал, и с четырехмерными многообразиями (то, что сейчас называют инвариантами Громова— Виттена и т.д.). И я дал положительный отзыв. Так что Давид Гильберт, конечно, был великий решатель, но он ошибался. Гораздо большее влияние на математику XX в. оказал соперник Гильберта, французский математик Анри Пуанкаре, который за три года до Гильберта сформулировал задачи, которые девятнадцатый век оставил двадцатому.
Он сказал, что такая задача в сущности одна: создать математический аппарат, необходимый для развития релятивистской и квантовой физики. Вот формулировка Пуанкаре затри года до Гильберта, и она гораздо более правильна, и ход развития математики в XX в. гораздо больше следовал этому, чем проблемам Гильберта. Удивительно. насколько мало проблемы Гильберта оказали влияние на развитие математики. А эта проблема Пуанкаре — огромное влияние. Что сделал сам Пуанкаре запять лет до Гильберта? В 1895 г. опубликовал теорию относительности. За десять лет до Эйнштейна. Статья Пуанкаре называлась «Об измерении времени».
С.К.: Да. я помню эту работу.
В.А.: И она начиналась с анализа вопроса о галилеевой одновременности в теории Ньютона и Галилея. Он доказывает, что она антифизична. потому что пока неуказан способ синхронизации часов в Париже и в Нью-Йорке, говорить, что это событие одновременно (одно в Париже, другое в Нью-Йорке), сточки зрения физики бессмысленно. И только тогда, когда мы укажем способ синхронизации, можно будет это сказать. И дальше была изложена вся теория относительности, но только это был философский журнал, в котором Пуанкаре не опубликовал формул, кроме одной. Формула атомной бомбы Е = тс2 уже была в этой работе. Он говорит, что доказательство трудное и он не может без математики это объяснить, но вот оно.
С.К.: Вот результат.
В.А.: У Пуанкаре в Цюрихе в Швейцарской высшей технической школе был друг, профессор Герман Минковский. И Пуанкаре с ним это обсуждал, а Минковский посоветовал одному своему ученику прочитать работу Пуанкаре, раз он хочет заниматься физикой и такими вопросами.
С.К.: Это был Эйнштейн?
В.А.: Это был Альберт Эйнштейн, ученик Минковского. Эйнштейн прочитал работу Пуанкаре, добавил недостающие формулы. Это и есть работа Эйнштейна 1905 г., но в ней нет ссылки на Пуанкаре. Ссылка появилась, по-моему, в 1940 г. Он сказал, что использовал Пуанкаре, но почему-то по молодости лет не указал автора цитаты. Тем временем работу Эйнштейна послали на отзыв Пуанкаре. Он прочитал и написал, что это совершенно гениальная работа. А когда Минковский увидел это, он спросил у Пуанкаре, почему он не упомянул о своем приоритете. А Пуанкаре ему ответил: «Наш долг — помогать молодежи».
С.К.: Это были великие люди. Меня всегда в истории теории относительности поражал один малоизвестный факт. Была работа Гаусса, который в 1837 г., если мне не изменяет память, рассмотрел взаимодействие двух одинаковых зарядов. По Кулону, положим, если они разного знака, они притягиваются, а затем вы рассматриваете взаимодействие в другой системе координат, которая движется с некоей скоростью. Тогда появляется взаимодействие токов, и заряды будут отталкиваться. Получается, что сила между зарядами зависит от того, в какой системе координат вы их рассматриваете. На этом основании можно построить все, вплоть до вечного двигателя. Это противоречие между механикой Ньютона и электродинамикой. Большая часть физиков- экспериментаторов XIX в. занимались проверкой того, будет ли перенос заряда эквивалентен току. И было показано, что да. С моей точки зрения, это гораздо более важный факт, чем, например, опыт Майкельсона.
В.А.: Да. У Гаусса много чего было. Например, он очень хвалил Лобачевского и говорил, что его геометрия — совершенно новая идея и ни у кого ничего похожего не было. Хотя сам прекрасно знал ее раньше, но не сказал этого, не опубликовал.
С.К.: Да, он придумал раньше. Но это есть у Максвелла.
В.А.: У Максвелла есть замечательные топологические теоремы. Он очень много понимал в математике, но я сейчас хотел сказать про Пуанкаре. Он читал лекции в Сорбонне по электродинамике. И в это время увидел статью, которая недавно появилась. Статья была написана Лоренцем, и в ней рассматривался такой вопрос: какие симметрии существуют у системы уравнений Максвелла? Какие есть преобразования четырехмерного пространства-времени, которые переводят систему уравнений Максвелла саму в себя? Пуанкаре это очень понравилось, и он включил это в свой курс. И когда он стал читать это студентам, заметил, что у него не получаются доказательства. Потому что он думал так: если взять эти преобразования, которые написаны у Лоренца, то произведение этих двух преобразований должно быть тоже преобразованием. Он их перемножил, но не получилось, оно не включалось в ту же формулу. Он удивился и сказал студентам: ну ничего, на следующей лекции я вам докажу, что бесконечно малые преобразования на очень маленькое расстояние образуют алгебру Ли. Но на следующей лекции опять не получилось. Тогда он сказал: это безобразие, конечно, но я докажу, что уравнения Максвелла сохраняются. Стал доказывать, проверил — не сохраняются.
Тогда он решил задачу. Нашел преобразования, которые представляют собой симметрии уравнений Максвелла. Потом по правилам французского университета надо было издать лекции в виде учебника. И когда Пуанкаре его писал, то, когда он дошел до этого места, подумал, что эти преобразования надо назвать каким-нибудь именем. И так как он очень любил Лоренца, он их назвал преобразованиями Лоренца.
С.К.: Но у Лоренца не было этих преобразований.
В.А.: Не было. У Лоренца была ошибка, Пуанкаре ее исправил и правильный ответ приписал Лоренцу. Значит, заслуга Пуанкаре здесь такая. Вообще заслуги математиков в физике часто недооцениваются. Вот, например, кому принадлежит квантовая механика?
С.К.: У нас есть стандартный ответ— начиная с Бора, Планка...
В.А.: Это очень хорошие работы, но я имел в виду уравнение Шредингера.
С.К.: Это позднее пришло, в 1926 г. Но мы сейчас уже слишком отвлечемся от нашей главной темы. Давайте вернемся к вопросу о постановке задачи.
В.А.: Еще скажу одну вещь. Когда меня принимали в Лондонское королевское общество, его президент предложил мне сфотографироваться под портретом моего самого любимого английского ученого, члена общества. Вот, говорит, у нас тут есть Максвелл, Ньютон и много других, выбирай. Я выбрал другого великого человека — Поля Дирака. Я очень его люблю. Дирак сделал следующее заявление. Каков правильный способ построения новой физики? Прежде всего надо отбросить все так называемые физические представления, потому что они есть не что иное, как псевдоним для предрассудков, выработанных старшими поколениями.
С.К.: Хорошая формула.
В.А.: Правильный путь построения новой физики состоит вот в чем. Нужно начать с красивой математической теории. Никакого отношения к физике она иметь не должна. Но если она действительно красивая, она обязательно найдет полезные физические приложения, хотя еще не известные для нее. Надо смотреть, какие выводы следуют из этой математической теории, и искать для них физические приложения к описанию каких-либо физических явлений.
С.К.: Все правильно. Я вам расскажу историю про Дирака. В 1970-е гг. в Москву приехал Джон Кокрофт — руководитель атомного проекта в Англии, нобелевский лауреат. Он, кстати, был аспирантом у моего отца и работал с ним. В английском посольстве был устроен торжественный обед, на который были приглашены и мы с отцом. Был общий разговор, и кто-то сказал, что Дирак получил высший орден в Англии — «За заслуги» (Order of Merit). И вдруг жена посла говорит: «А кто этот Дирак, что получает эту высочайшую награду?» Ее реплику услышал отец и сказал: «Сергей, объясни ей, кто такой Дирак». Я говорю: «Мадам, вы знаете, кто такой Эйнштейн?» Она сказала: «Да, мы все знаем, кто такой Эйнштейн». — «Так вот, с точки зрения многих ученых роль и вклад Дирака в современную физику сравним с вкладом Эйнштейна, если не превышает его». Мне потом сказали, что я был не очень дипломатичен. Но, по-моему, я был точен.
Давайте все-таки вернемся к современным проблемам. Где прикладная математика черпает свои методы, свои возможности? Какие там есть продвижения? Многим кажется, что мы будем строить компьютеры все больше и мощнее, создадим мега-тера-гиперкомпьютер и решим все проблемы. Но я не очень в этом уверен.
В.А.: Это трудный вопрос, на который я дам не совсем приятный ответ. Я занимался около 1970 г. тем, что сейчас называется теорией КАМ (теория Колмогорова—Арнольда — Мозера. — Примеч. ред.), в приложении к устойчивости движения Солнечной системы, планет, гироскопов и т.д. И поэтому имел довольно много дел с ракетчиками. Они мне рассказывали, как рассчитывают орбиты и что у них при этом получается. В частности, расчеты большого количества орбит спутников, запущенных в разные дни недели, с разными скоростями и т.д., показывают, что через десять лет они все собираются в одном месте.
С.К.: Казалось бы, должно быть наоборот.
В.А.: Не получается. А получается одна орбита, к которой они все притягиваются. Я стал думать и понял, что дело в прикладной математике. В том, что они рассчитывают это при помощи численных методов. А эти численные методы аппроксимируют решение дифференциального уравнения решением разностного уравнения. А это разностное уравнение уже не сохраняет объемы. И поэтому у него-то аттракторы могут быть, но это артефакты. Это аттракторы у приближения, а не у исходной системы, которую мы хотим решить.
С.К.: Это очень тонкое замечание.
В.А.: Я сказал об этом М.В. Келдышу и заметил, что у меня есть идея, как с этим справиться. Когда мы разрабатываем методы численного анализа, имеются некоторые приближения, в которых есть несколько коэффициентов, которым даются какие-то значения. При этом можно подобрать одинаковую точность разным выбором этих коэффициентов. Если их подобрать как следует, можно добиться, что у разностного уравнения тоже не будет аттракторов. Оно будет так называемым симплектическим преобразованием, которое будет сохранять те же интегральные инварианты Пуанкаре, что сохраняло и дифференциальное.
Келдыш сказал: «Идея мне нравится, это хороший прогресс в прикладной математике, но мы этого делать не будем, и вот почему. Нужны компьютерные вычисления, чтобы найти эти коэффициенты. Это компьютерная задача, а у нас компьютеров нет. И я только что доложил в ЦК, что они нам и не нужны. Потому что у нас в стране такие хорошие математики, которые то, что американцы для своих бомб и ракет рассчитывают при помощи компьютеров, рассчитывают вручную. У нас Канторович лучше фон Неймана. Фон Нейман на своем компьютере посчитал атомную бомбу, а Леонид Витальевич посчитал без компьютера в Сарове. и все сработало». Я говорю: «Мстислав Всеволодович, пройдет лет 30, и мы отстанем в компьютерном деле». А дальше произошло следующее. Через месяц Мстислав Всеволодович мне говорит: «Из NASA прилетают специалисты, которые рассчитывают орбиты американских спутников. Расскажи им эту свою идею, я тебе разрешаю. У них-то компьютеры есть». Я им рассказал. А они сказали: «Нет, мы этого делать не будем. У нас такие сильные компьютеры, что мы можем считать с шагом по времени в тысячу раз меньшим, чем считаем. А тогда пропадает вся прелесть и разница между дискретным и непрерывным исчезает и становится ненужной».
С.К.: Я помню, у нас когда-то в институте была комиссия, которая решала, какой покупать следующий компьютер. На компьютер тогда молились, как на священную корову. Я сказал, что для всякого компьютера можно предложить задачу, которую на нем решить нельзя, поэтому надо покупать компьютер следующего поколения. Это одно решение. Другое — всякую задачу можно решить на любом компьютере, но начиная с логарифмической линейки. Это, казалось бы, два взаимоисключающих решения. Вся остальная математика находится между этими двумя пределами. Говорят. Ферми считал на маленькой логарифмической линейке.
В.А.: Я хочу вспомнить великого человека, главного изобретателя компьютеров Алана Тьюринга. Вот что он сказал по поводу вопросов, которые вы сейчас назвали. Это были 1930-е гг. Он был студентом в Кембридже и очень интересовался проблемами Гильберта. Среди них была гипотеза Римана о нулях дзета-функции. Тьюринг решил просчитать первый миллион этих нулей. И он для этого изобрел компьютер. С его помощью он нашел их и написал об этом в Принстон фон Нейману, который тоже интересовался этой проблемой, и спросил, можно ли ему приехать защищать диссертацию. Приехав, он получил грант и на эти деньги написал теорию компьютеров. После этого Тьюринг вернулся в Англию, и тут началась война. Англичане, узнав, какие он может делать вычисления, поручили ему криптографию. И он расшифровал немецкие коды при помощи своего компьютера. Когда он это сделал, английская разведка решила, что такого человека немедленно украдут либо немцы, либо русские, либо американцы. И стали за ним тщательно следить. Он это заметил, очень болезненно воспринял и покончил с собой. Вот история Тьюринга...
С.К.: Есть еще одно утверждение, которое мне хотелось бы с вами обсудить. Вы говорите, что в математике есть доказательства. В физике доказательств практически нет. и я всегда отмечал, что всякое утверждение в физике можно, как говорят, показать. Это более слабое утверждение, хотя оно тоже содержательно. Может быть, когда вы задачу ставите, вы показываете, что она существует, но вы не доказываете, что есть ее решение.
В.А.: В математике это давно обсудили и закрыли вопрос. Это так называемая теорема Геделя. Она утверждает следующее. В математике имеются задачи, о которых известно, что у них нет решения. Вот простейший пример. Имеется окружность на плоскости, и нужно построить ее центр. Циркулем и линейкой эта задача разрешима. Но если циркуля нет. а только одна линейка, то способа построения центра одной линейкой не существует.
Другой пример— геометрия Лобачевского. Он пытался доказать постулат Евклида: через точку проходит одна и только одна прямая, параллельная данной. Теперь мы знаем, что это доказать невозможно.
Теорема Геделя, которая на основании этих примеров была в конце концов доказана, такова: не существует ни одной математической теории, которая полна в смысле доказательства. В любой теории есть утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
С.К.: Теорема Геделя в этом смысле поразительная.
В.А.: Замечательная теорема. А в настоящее время известно, что к категории таких задач относится проблема Кантора о мощности континуума. Сейчас доказано, что эта проблема относится к числу неразрешимых. Есть две математики, в одной решение — «плюс», в другой — «минус». И никуда не деться. Математика не есть наука о доказательствах. В ней много доказательств, но она к ним не сводится.
С.К.: На этом мы закончим сегодняшний разговор. Я думаю, что он дал возможность заглянуть за пределы математики, посмотреть на те исходные принципы, на которые она опирается. И мне кажется, что самое главное для нас сегодня — понимать, что математика есть грандиозная часть нашей культуры. Не только по тем результатам, которые она дает, а по тому, как она заставляет нас думать. ■
Подготовила Ольга Беленицкая
