Представители НОШ «Мозг, когнитивные системы, искусственный интеллект» разработали и математически обосновали метод пороговой обработки с двумя порогами, который сочетает достоинства классических подходов — мягкой и жесткой пороговой обработки. Метод позволяет более эффективно восстанавливать зашумлённые сигналы и изображения в таких областях, как астрономия, медицинская томография и физика плазмы, снижая как дисперсию, так и смещение оценок. Работа опубликована в журнале «Информатика и её применения»
Обработка сигналов и изображений, искажённых шумом, — ключевая задача во многих научных и инженерных приложениях, от астрономических наблюдений до медицинской диагностики. Часто исходный сигнал связан с наблюдаемыми данными через линейный оператор (например, оператор свёртки в томографии), и задача состоит в его «обращении» — восстановлении исходного сигнала по зашумлённым измерениям. Одним из самых эффективных инструментов для такого восстановления являются вейвлет-преобразования в сочетании с пороговой обработкой коэффициентов. Классические методы — жесткая и мягкая пороговая обработка — имеют существенные недостатки: первый приводит к высокой дисперсии и артефактам, второй — к систематическому смещению оценки.
«Процедура с двумя порогами ведёт себя как мягкая обработка для малых коэффициентов, эффективно подавляя шум, и как жесткая — для больших, сохраняя важные детали сигнала», — поясняет Олег Шестаков, профессор кафедры математической статистики факультета ВМК МГУ.
В работе рассматривается так называемая «firm» пороговая функция (firm shrinkage), которая использует два порога, T₁ и T₂. Коэффициенты, абсолютное значение которых меньше T₁, обнуляются (как при мягкой обработке). Коэффициенты, превышающие T₂, остаются без изменений (как при жесткой обработке). В промежуточной зоне применяется линейное сжатие, что обеспечивает плавный переход и снижает дисперсию. Для этого метода на основе подхода Стейна построена несмещённая оценка среднеквадратичного риска — величины, которая характеризует среднюю ошибку восстановления.
Автор доказал, что эта оценка является сильно состоятельной и асимптотически нормальной. Это означает, что с ростом объёма данных она даёт всё более точное представление о реальной погрешности метода, а её распределение приближается к нормальному, что позволяет строить надёжные доверительные интервалы для риска. Также предложен алгоритм вычисления оптимальных значений порогов T₁ и T₂, минимизирующих оценку риска на основе наблюдаемых данных.
«Предложенная оценка риска вычисляется исключительно по наблюдаемым зашумлённым данным, без знания ″истинного″ сигнала. Это делает метод полностью адаптивным и пригодным для практического использования, например, в программных пакетах обработки сигналов», — отмечает Олег Шестаков.
Метод может быть применён для обработки астрономических изображений, данных компьютерной томографии, сигналов ЭКГ в кардиологии, а также в задачах физики плазмы и сейсморазведки. Сочетание гибкости и теоретической обоснованности делает его перспективной альтернативой классическим подходам к шумоподавлению в обратных задачах.
Работа продолжает серию исследований автора, посвящённых разработке и анализу статистических методов решения обратных задач с использованием вейвлет-анализа.
Источник информации: ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова
Источник фото: ru.123rf.com
