Исследователи ВМК МГУ рассмотрели математическую модель, в которой спектральный параметр входит в граничные условия. Такой подход встречается в задачах, описывающих колебания механических систем, распространение волн и тепловые процессы. В работе получены условия существования базисных систем собственных функций, что имеет важное значение для теории спектральных задач. Исследование опубликовано в журнале Lobachevskii Journal of Mathematics.
Современная наука и технологии все чаще опираются на математические модели, описывающие процессы в физике, инженерии и вычислительной технике. Одним из ключевых инструментов в таких моделях является уравнение Бесселя, которое применяется для анализа колебательных процессов, теплопроводности и электромагнитных волн. Однако, если в граничных условиях таких задач участвует спектральный параметр, математический анализ значительно усложняется.
Ученые ВМК МГУ исследовали спектральные свойства дифференциального оператора, где в граничное условие входит квадрат спектрального параметра. Они доказали существование базисных систем собственных функций, что является важным для анализа устойчивости и численных методов решения таких уравнений.
В работе получено характеристическое уравнение, которое описывает спектр оператора, то есть набор возможных значений параметра, при которых у задачи существуют собственные функции. Было установлено, при каких условиях эти функции образуют базис в пространстве, используемом в функциональном анализе. Базисность означает, что любая функция из этого пространства может быть представлена как сумма собственных функций, что делает метод удобным для практических вычислений.
Особое внимание уделено случаю, когда у оператора есть спектральные значения с кратностью два. В этом случае исследователи предложили специальную систему функций, сохраняющую полезные математические свойства и позволяющую корректно работать с такими задачами.
Полученные результаты находят применение в различных инженерных и научных задачах. Спектральные методы широко используются при проектировании механических конструкций, анализе колебательных систем, моделировании тепловых процессов и изучении распространения волн в различных средах.
Например, такие исследования могут быть полезны при разработке современных систем виброизоляции, изучении поведения упругих материалов и анализе распространения сигналов в сложных технических средах, таких как волноводы и антенны.
«Изучение спектральных свойств дифференциальных операторов позволяет глубже понять поведение сложных физических систем. Наши результаты могут применяться как в фундаментальной математике, так и в прикладных областях, требующих точных методов анализа», — отметила доцент кафедры функционального анализа и его применений ВМК МГУ Анна Холомеева.
Информация предоставлена пресс-службой МГУ
Источник фото: Ольга Мерзлякова / «Научная Россия»
