Несмотря на свою сложную судьбу и недолгую жизнь, Амалия Эмми Нётер оказала огромное влияние на науку. Нётер создала новую математическую дисциплину и связала два важных понятия в физике – законы сохранения и симметрии. Эта связь отражена в Теореме Нётер, которой в этом году исполняется сто лет, в связи с чем на портале Science News появилась статья о выдающемся ученом.
1920-е годы. Геттинген, Германия. Окажись мы в начале XX века одним теплым летним вечером в этом городе, возможно мы услышали бы шум вечеринки, который доносится из квартиры на дороге Friedländer Landstraße. Взглянув через окно, мы увидели бы собрание ученых. Льется вино, в воздухе жужжат разговоры о злободневных математических проблемах. Мы бы могли даже уловить смешок женщины, прорезающий шум, – это усмехнулась хозяйка квартиры, Эмми Нётер, гений математики.
В то время, когда считалось, что женщины интеллектуально уступают мужчинам, Нётер восхищала коллег-мужчин своим умом. Она решила непростую задачу в новой теории гравитации Альберта Эйнштейна – общей теории относительности, – над которой ломал голову не один ученый. И, пока разгадывала головоломку, Нётер доказала революционную математическую теорему, которая изменила подход физиков к изучению вселенной.
Прошло уже почти столетие с 23 июля 1918 года – даты, когда Эмми Нётер представила свою знаменитую теорему. Однако ее значение сохраняется и сегодня. «Эта теорема была ориентиром для физики 20-го и 21-го веков», – подчеркнул физик-теоретик Фрэнк Вильчек (Frank Wilczek) из Массачусетского технологического института. Нётер была ведущим математиком своего времени. В дополнение к своей теореме, которая теперь просто называется «Теоремой Нётер», она положила начало целой математической дисциплине – абстрактной алгебре.
Несмотря на заслуги Нётер и на ее ум, в карьере ей не так уже везло. Она работала бесплатно в течение многих лет после того, как получила степень доктора наук. Она пришла в Университет Геттингена в 1915 году, и поначалу ей разрешили читать лекции только в качестве помощника профессора – иногда она заменяла Давид Гильберта. До 1923 года она не получала зарплату. Десять лет спустя к власти в Германии пришли нацисты, и Нётер была отстранена от работы. Математические вечера в квартире Нётер тоже были прекращены.
Нётер уехала в Соединенные Штаты – и там начала преподавать в частном женском колледже Брин-Мор в Пенсильвании. Менее чем через два года она умерла от осложнений после операции – до того, как важность ее теоремы была полностью признана. Ей было 53 года.
Хотя большинство людей никогда не слышали об Эмми Нётер, физики высоко ценят ее теорему. Теорема «проявляется во всем, что мы делаем», – говорит физик-теоретик Рут Грегори (Ruth Gregory) из Даремского университета в Англии. Грегори, которая читала лекции о важности работы Нётер, изучает гравитацию – область, в котором немаловажную роль играет наследие немецкого ученого.
Все взаимосвязано
Нётер объяснила связь между двумя важными понятиями в физике: закон сохранения и закон симметрии. Закон сохранения – например, сохранения энергии – утверждает, что определенное количество должно оставаться постоянным. Как бы мы ни старались, энергия не может появиться ни от куда или исчезнуть в никуда. Уверенность в том, что энергия сохраняется, помогает физикам решить многие проблемы: от вычисления скорости шара, спускающегося с холма, до понимания процессов ядерного синтеза.
Симметрии описывают изменения, которые никак не повлияют на то, как объект выглядит или действует. Сфера абсолютно симметрична: поверните ее в любом направлении и она остается такой же. Подобным образом симметрии пронизывают законы физики: уравнения не меняются в разных местах во времени или пространстве.
Теорема Нётер заявляет, что каждой симметрии соответствует свой закон сохранения, и наоборот – для каждого закона сохранения существует соответствующая симметрия. Сохранение энергии связано с однородностью времени: физика сегодня такая же, как и вчера. А сохранение импульса, как утверждает теорема, связано с изотропией пространства (то есть одинаковостью физических свойств во всех направлениях): физика на Земле такая же, как и везде во вселенной. Эти связи показывают «рифму» и причину свойств Вселенной, которые раньше казались произвольными и не вязанными друг с другом.
Во второй половине XX века Теорема Нётер стала основой стандартной модели физики элементарных частиц, которая описывает природу в крошечных масштабах и предсказывает существование бозона Хиггса – частицы, обнаруженной в 2012 году. Сегодня физики все еще формулируют новые теории, которые полагаются на работу Нётер.
Когда Эмми Нётер умерла, Альберт Эйнштейн написал в «Нью-Йорк Таймс»: «Нётер была самым значительным творческим гением математики, появившимся с тех пор, как женщинам позволили получать высшее образование». Это сердечный комплимент. Но похвала Эйнштейна намекала на пол Нётер вместо того, чтобы признать, что она также выделялась и среди своих коллег-мужчин. Аналогичным образом, некоторые математики, которые восхваляли ее, обращали внимание на женские стороны и отмечали, например, ее «тяжелое телосложение». Даже те, кто восхищался Нётер, оценивали ее стандартам, по которым не судили о мужчинах.
Красота симметрии
Есть нечто неотъемлемо привлекательное в симметрии. В некоторых исследованиях сообщается, что люди находят симметричные лица более красивыми, чем асимметричные. Две половины лица являются почти зеркальными изображениями друг друга (этот тип симметрии известен как симметрия отражения). Искусство также демонстрирует симметрию: особенно часто она используется в мозаике, текстиле и витражном искусстве. Встречается она и в природе: если самую обычную снежинку повернуть на 60 градусов, ее вид не изменится. Подобные «вращательные симметрии» появляются в цветах, паутинах и морских ежах. И этим список не ограничивается.
Но теорема Эмми Нётер прямо не применима к этим знакомым примерам. Так случается потому, что симметрии, которые мы видим вокруг нас и которыми восхищаемся, являются дискретными: они сохраняются только для определенных значений. Например, в случае со снежинкой симметрия будет соблюдаться, если повернуть ровно на 60 градусов – не больше, не меньше. А те симметрии, которые относятся к Теореме Нётер, являются непрерывными: они не зависят от того, как далеко мы движемся в пространстве или во времени. Один вид непрерывной симметрии, известный как трансляционная симметрия, означает, что законы физики не меняются из-за сдвига системы на определенный вектор.
Законы сохранения, относящиеся к каждой непрерывной симметрии, являются основными инструментами физики. На уроках физики школьников учат, что энергия всегда сохраняется. Когда один бильярдный шар преследует другой, энергия движения первого шара делится. Часть ее переходит в движение второго шара, другая – производит звук или тепло, а третья остается с первым мячом. Но общее количество энергии остается неизменным – несмотря ни на что. То же самое касается импульса.
Эти правила преподаются как факты, но есть математическая причина их существования. Энергосбережение, согласно Нётер, происходит из-за трансляционной симметрии во времени. Аналогично, сохранение импульса связано с этой симметрией в пространстве. Например, когда один шарик в «колыбели Ньютона» (кинетическом маятнике) ударяется о соседний в ряду, мяч на другом конце отлетает наружу, сохраняя импульс. Почему? Симметрия пространства.
В общей теории относительности Эйнштейна нет абсолютного ощущения и значения времени или пространства, и законы сохранения усложняются. Именно эту загадку и решила Нётер.
Взгляд в самую суть вещей
В 1915 году общая теория относительности была новой увлекательной теорией. Немецкие математики Давид Гильберт и Феликс Кляйн, оба из Университета Геттингена, были погружены в причуды новой теории. Гильберт даже конкурировал с Эйнштейном в том, кто первым разработает математически сложную теорию, которая описывает гравитацию в результате искривления пространства-времени.
Но Гильберт и Кляйн столкнулись со сложностями. Попытки использовать структуру общей теории относительности для записи уравнения сохранения энергии привели к тавтологии: как и запись «0 равна 0», уравнение не имело физического значения. Эта ситуация была неожиданностью для двух ученых; в ранее принятых теориях соответствующие законы сохранения энергии работали. Дуэт ученых хотел понять, почему так получается с общей теорией относительности. Оба обратились за помощью к Нётер: им были необходимы ее знания в области теории инвариантов (свойств некоторого класса математических объектов, которые остаются неизменными при преобразованиях определенного типа).
Нётер показала, что кажущийся странным тип закона сохранения присущ определенному классу теорий, известных как «ковариантные». Уравнения, связанные с такими теориями, остаются неизменными, независимо от того, происходит движение размеренно или беспредельно ускоряется, поскольку обе стороны уравнения меняются синхронно. Результат заключается в том, что в целом для ковариантных теорий, включая общую теорию относительности, всегда будут работать эти нетрадиционные законы сохранения. Это открытие известно как вторая теорема Нётер.
Это то, что Нётер удавалось лучше всего: вписывать конкретные понятия в их более широкий математический контекст. «Она просто могла понять самую суть того, что происходит, и обобщить это», – говорит доктор наук Кэтрин Брейдинг (Katherine Brading) из Университета Дьюка, которая изучила теоремы Нётера.
Пока Нётер доказывала вторую теорему, ей также удалось доказать и первую о связи между симметриями и законами сохранения. Она представила оба результата 23 июля 1918 года в лекции, которую прочитала перед Математическим обществом Геттингена, и в статье, опубликованной в Göttinger Nachrichten.
Нелегко найти высказывания самой Эмми Нётер, которые показали бы, как она относилась к собственным открытиям. Известно, что свою диссертацию – свою первую крупную научную работу – она назвала «хламом» (по-немецки: Mist). Значительно позже Нётер признала свою заслугу, признала, что изменила математику: «Мои методы – это действительно методы работы и мышления; вот почему они подкрадывались отовсюду незаметно», – писала она коллеге в 1931 году.
«Теплая, как буханка хлеба»
Эмми Амалия Нётер родилась в 1882 году в семье математика Макса Нётера. Она росла в немецком городе Эрланген с тремя братьями. В детстве ее математический талант не был очевиден. Тем не менее, она, насколько известно, решала головоломки, которые ставили других детей в тупик.
В Университете Эрлангена, где преподавал ее отец, женщинам официально не разрешалось учиться, хотя они могли посещать классы с разрешения профессора. Когда правило изменилось в 1904 году, Эмми Нётер долго времени не теряла. Ее зачислили в университет, и уже в 1907 году она защитила диссертацию, посвященную построению полной системы инвариантов тернарных биквадратичных форм (ту самую, которую она назвала «хламом»).
Будучи женщиной, Нётер изо всех сил старалась найти оплачиваемую академическую должность, даже после того, как ее приняли в Геттингенский университет. Ее сторонники утверждали, что пол не имеет значения. «В конце концов, мы университет, а не баня», – говорил Гильберт, но даже он не смог выбить для Нётер зарплату.
Хотя Геттинген наконец начал платить Нётер в 1923 году, она никогда не стала полноценным профессором. Герман Вейль, выдающийся математик, профессор Геттингенского университета, сказал: «Мне было стыдно занять такую привилегированную должность рядом с ней – с превосходным математиком». Он же описал ее манеру вести себя таким образом: «теплая, как буханка хлеба». Все любили Нётер за ее энергичность и силу духа.
Она привыкла долго гулять по сельской местности со своими учениками и коллегами, проводя длительные дебаты по математике. Когда ноги начали болеть, Нётер и компания буквально падали на луг и продолжали болтать. Иногда она приглашала студентов к себе домой на «пудинг а ля Нётер». Разговоры о науке продолжались до тех пор, пока тарелки не оставались пустыми – этот факт встречается в биографии 1970 года «Эмми Нётер. 1882-1935», которую написала немецкий историк Аугуста Дик (Auguste Dick).
Когда Эмми Нётер приехала в Брин-Мор в 1930-х годах, она продолжила преподавать: на этот раз – девушкам. Она также читала лекции в Институте перспективных исследований в Принстоне, Нью-Джерси (Advanced Study in Princeton). Ее смерть, менее чем через два года после ее прибытия в 1935 году, потрясла до глубины души все научное сообщество.
Советский математик Павел Александров назвал Нётер «одним из самых увлекательных людей, которых я когда-либо знал», и посетовал на неудачные обстоятельства ее трудоустройства. «Карьера Эмми Нётер была полна парадоксов и всегда будет примером шокирующей стагнации и неспособности преодолеть предрассудки», – сказал он в 1935 году на заседании Московского математического общества.
"Скрытые" партнеры
После смерти Нётер ее теоремы и дальше оставались актуальными, особенно в физике элементарных частиц. В загадочном мире фундаментальных частиц все процессы протекают за считанные секунды, и экспериментально часто трудно их уловить. «Мы должны полагаться на теоретическое понимание и концепции красоты и эстетики и симметрии, чтобы догадываться о том, как все может работать», – говорит Вильчек. Теоремы Нётера в этом очень помогают.
В физике частиц соответствующие симметрии являются «скрытыми» видами, известными как калибровочные симметрии. Одна такая симметрия обнаруживается в электромагнетизме и приводит к сохранению электрического заряда. В определении электрического напряжения появляется калибровочная симметрия. Напряжение – например, между двумя концами батареи – является результатом разницы в электрическом потенциале. Фактическое значение самого электрического потенциала не имеет значения, роль играет только разница. Это создает симметрию электрического потенциала: его общее значение можно изменить, не влияя на напряжение. Такое свойство объясняет, почему птица может сидеть на одной линии электропередачи, и при этом ее не бьет током, но если она одновременно коснется двух проводов при разных электрических потенциалах, она умрет.
В 60-х и 70-х годах физики распространили эту идею, найдя другие скрытые симметрии, связанные с законами сохранения, для разработки стандартной модели физики частиц. В любом случае, где ученые обнаруживали закон сохранения, они искали симметрию – и наоборот. Стандартная модель, за развитие которой Фрэнк Вильчек (совместно с Дэвидом Гроссом и Дэвидом Политцером) получил в 2004 году Нобелевскую премию (точная формулировка звучала так: за «открытие асимптотической свободы в теории сильных взаимодействий), объясняет множество частиц и их взаимодействия. Многие физики считают, что это одна из самых успешных научных теорий, с точки зрения ее способности точно предсказать результаты экспериментов.
На Большом адронном коллайдере в ЦЕРНе в Женеве физики все еще ищут новые частицы, предсказанные с помощью идей Нётер. Гипотетическая скрытая симметрия, получившая название суперсимметрии, утверждает, что каждая известная частица обладает неуловимым более тяжелым партнером. До сих пор таких частиц не было обнаружено, несмотря на большие надежды. Некоторые ученые уже начинают сомневаться в том, действительно теория о существовании суперсимметрии правильна. Но если она окажется неэффективной, то чем же будут руководствоваться исследователи в своих дальнейших поисках неуловимых частиц?
Симметрия для голограммы
Несмотря на такие разочарования, симметрия сохраняет свой блеск в физике в целом. Теоремы Нётер являются важными инструментами для разработки потенциальных теорий квантовой гравитации, которые объединили бы две разрозненные теории: общую теорию относительности и квантовую механику. Работа Нётер помогает ученым понять, какие симметрии могут проявляться в такой единой теории.
Один кандидат на звание «ключевой симметрии» опирается на предлагаемую связь между двумя типами дополнительных теорий: квантовая теория частиц на двумерной поверхности без гравитации может выступать в качестве голограммы для трехмерной теории квантовой гравитации в искривленном пространстве-времени. Это означает, что информация, содержащаяся в трехмерной вселенной, может быть «отпечатана» на окружающей 2D-поверхности.
Приведем пример с банкой лимонада. На поверхности банки обозначены метки, которые являются «отпечатком» каждого пузырька внутри: они описывают размеры и расположение пузырьков. Эти метки регистрируют, как эти пузырьки сливаются и лопаются. Любопытный исследователь мог использовать поведение поверхности банки, чтобы понять, что происходит внутри банки: например, вычислить, что может произойти при встряхивании. Понимание более простой, двумерной теории может помочь физикам постичь более сложный беспорядок – а именно, квантовую гравитацию – внутри. (Теория квантовой гравитации, для которой этот голографический принцип имеет значение, представляет собой теорию струн, в которой частицы описываются вибрирующей струной.)
«Теорема Нётер – очень важная часть этой истории, – подчеркивает физик-теоретик Даниэль Харлоу (Daniel Harlow) из Массачусетского технологического института. Симметрии в двумерной квантовой теории проявляются в трехмерной квантовой теории гравитации в разном контексте. При хорошем сценарии первая и вторая теоремы Нётер связываются: первая теорема в двумерной картине дает то же утверждение, что и вторая теорема в 3D. Это похоже на то, как если бы два предложения – на японском и на английском – перевели, и оказалось бы, что они сообщают одну и ту же информацию, но разными способами.
Новые направления для теорем Нётер
Физика в окружающем мире также опирается на теорему Нётер. Законы сохранения, которые он подразумевает, помогают объяснить, например, волны на поверхности океана. Моделирование таких систем помогает ученым делать прогнозы – скажем, о погодных условиях, вибрациях мостов или о воздействии ядерного взрыва. Теорема Нётер не применяется автоматически в компьютерных симуляциях, которые упрощают мир, «разрезая» его на мелкие части пространства и времени. Поэтому программистам приходится вручную добавлять законы сохранения энергии и импульса.
«Сначала они выбрасывают всю физику, а затем должны попытаться все это вернуть», – говорит математик Элизабет Мэнсфилд (Elizabeth Mansfield) из Кентского университета в Англии. Но Мэнсфилд нашла новые способы сделать теорему Нётер применимой в симуляциях. Она и ее коллеги смоделировали человека, который бьет в барабан внутри упрощенной модели Стоунхенджа. С помощью этой модели они определяли, как звуковые волны «обволакивают» камень – при этом автоматически сохраняя энергию. Мэнсфилд говорит, что ее метод, который она представит в сентябре в Лондоне на праздновании 100-летия Теоремы Эмми Нётер, в конечном итоге может быть использован для создания симуляций, которые ведут себя так же, как в действительности.
Нётер сыграла большую роль не только в физике, но и в математике: ее идеи настолько выдающиеся, что ее имя стало прилагательным. Ссылки на «нётеровы кольца», «нётеровы группы» и «нётеровы модули» (основные объекты абстрактной алгебры) часто встречаются в современной математической литературе.
Работа Эмми Нётер «должна была стать призывом к обществу, чтобы женщины могли заниматься математикой», – считает Рут Грегори. И в конце концов общество пробудилось. В 2015 году во время лекции Грегори рассказала о Нётер в канадском Институте теоретической физики (Perimeter Institute for Theoretical Physics) – профессор также продемонстрировала слайд с пятью коллегами-женщинами, такими же, как она, физиками-теоретиками из Даремского университета. В то время как женщины в науке по-прежнему сталкиваются с трудностями, им больше не приходится бороться за то, чтобы их работа была оплачена. «Это наследие Нётер, и мне кажется, что этот факт ее очень сильно воодушевил бы, – говорит Грегори. – Я думаю, это было бы для нее... восстановлением справедливости».
[Изображения и фото: E. OTWELL / Science News]
