Что такое фуллерены и графены с математической точки зрения? Что дает математика физикам и химикам и нужна ли она гуманитариям? Почему конструктор, прежде чем делать новый прибор, должен сначала посоветоваться с математиком? И как винные бочки помогли создать медицинский томограф? Об этом рассказывает член-корреспондент РАН Виктор Матвеевич Бухштабер, главный научный сотрудник Математического института им. В.А. Стеклова РАН.
— Виктор Матвеевич, ваша математическая биография начиналась в Ташкенте, где вы учились на мехмате. Затем вы участвовали в съезде, посвященном топологии и геометрии, и вас перевели на мехмат МГУ. Как это получилось?
— Дело в том, что Ташкент в то время был замечательным местом, где собиралось очень много ведущих математиков. Тогда в Узбекистане министром высшего образования был Ташмухамед Алиевич Сарымсаков. Это крупный ученый, академик Академии наук Узбекской ССР. Благодаря ему ведущие специалисты из Москвы, Ленинграда и других научных центров страны приезжали в Ташкент и читали лекции. Каким-то образом они меня выделили, а у меня была возможность непосредственно общаться с самыми выдающимися учеными.
В 1963 г. в Ташкенте действительно состоялся топологический съезд, который организовывал наш ведущий тополог Павел Сергеевич Александров. На съезд приехали практически все ведущие специалисты по топологии со всего Советского Союза. Среди докладчиков было очень много молодых ученых, авторов замечательных результатов. И на заключительном банкете Юрий Михайлович Смирнов, профессор кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ, подвел меня к Павлу Сергеевичу и сказал: «Вот это тот самый Витя Бухштабер, о котором мы с вами говорили. И если вы захотите, он станет студентом МГУ». Павел Сергеевич на меня посмотрел и ответил: «А мы захотим». Так я оказался студентом Московского государственного университета.
— И с тех пор вся ваша научная жизнь связана с топологией. Что в ней такого замечательного?
— Конечно, я оканчивал кафедру высшей геометрии и топологии. И моя научная специализация — это геометрия и топология. Если говорить коротко, то истоки геометрии известны уже с древних времен и она просто по определению была прикладной, потому что в переводе с греческого «геометрия» — «измерение земли». Для измерения земляных участков были нужны формулы, дающие правильный ответ. Так что история здесь восходит к Индии, Египту и древним грекам.
В Средние века стала создаваться фундаментальная математика, под которой мы понимаем математику, изучающую общие законы самой математики, подчиненные ее внутренней логике. Но потом удивительным образом оказывается, что эти законы применимы для решения не только теоретических, но и прикладных задач. Не зря же есть известное высказывание физиков: «Непостижимая эффективность математики».
Вот короткий пример. Геометрия Евклида, которую мы учим в школе, для ученых — это синоним механики Ньютона. А вот геометрия Лобачевского, которую он создавал исходя из внутренних проблем математики, связанных с пятым постулатом Евклида, оказалась синонимом специальной теории относительности Эйнштейна. Я могу привести много примеров, когда открытия, сделанные на основании внутренних потребностей математики, сыграли решающую роль в развитии как фундаментальной, так и прикладной науки. Замечательно, что законы, открытые в одной области математики, часто находят применение для решения задач в другой, казалось бы, совершенно далекой от нее области математики.
— Приведите пару таких примеров.
— Приведу пример из области моих научных интересов. В 1996 г. Роберт Керл, Харольд Крото и Ричард Смолли получили Нобелевскую премию по химии за открытие фуллеренов, молекул углерода, обладающих совершенно удивительными свойствами. Среди них молекула углерода С60, которая имеет форму усеченного икосаэдра (эта молекула состоит из 60 атомов углерода).
С математической точки зрения фуллерен — это выпуклый трехмерный многогранник, граница которого — двумерная сфера, атомы — это точки на сфере, а связи описываются ребрами. В результате получается такое разбиение сферы, где в каждой вершине сходятся три ребра, а вся сфера разбита только на пяти- и шестиугольники.
Казалось бы, что в этом удивительного? Так вот, известен классический фундаментальный математический результат. Если вы захотите разбить сферу на многоугольники так, чтобы у вас в каждой вершине сходились ровно три ребра и при этом образовались только пяти- и шестиугольники, то пятиугольников должно быть ровно 12, фиксированное число!
Это настолько потрясло нобелевских лауреатов, что даже вошло в нобелевскую лекцию, где было сказано: «Так, может, нам поделиться Нобелевской премией с Архимедом?» Ведь это он первым открыл усеченный икосаэдр.
С древних времен известны замечательные платоновы тела: их пять, и они сыграли очень большую роль в развитии философии. Архимед ослабил требования к платоновым телам, получилось всего 13 архимедовых тел, и одно из них — усеченный икосаэдр, форму которого имеет молекула С60. Сейчас изучением свойств фуллеренов занимается научное направление на стыке квантовой химии и квантовой физики. И поскольку геометрическая комбинаторика многогранников близка моим научным интересам, я стал интересоваться, какой вклад в это направление может внести математика? И оказалось, что это новая задача.
— Какие же вы получили результаты?
— Мы получили уже признанные результаты, позволяющие нам дать конкретные рекомендации в задачах нанотехнологии. На основании фуллеренов строятся знаменитые нанотрубки и нанопочки. Это то, что сейчас стало предметом инженерных исследований. Оказалось, что если вы хотите создать нанопочку, то вы должны обязательно учитывать те запреты, которые вытекают из математических результатов об их комбинаторике. В нашей с Н.Ю. Ероховцом статье в журнале «Структурная химия» (нематематическом) я написал в предисловии: «…Когда человек приступает к конкретной задаче, у него нет полной свободы: он должен уважать те запреты, которые открыла математика».
— О каких запретах речь?
— В нашей статье приведены конкретные примеры запретов, важные тем специалистам, которые уже на основании результатов физики, химии и теории материалов используют фуллерены в современной нанотехнологии.
Еще один пример. Как вы знаете, в 2010 г. Андрею Гейму и Константину Новоселову была присуждена Нобелевская премия по физике за передовые опыты с двумерным материалом графеном. А что такое графен с математической точки зрения? Это разбиение двумерной плоскости на шестиугольники, где по-прежнему в каждой вершине сходятся три ребра. Возникает вопрос: можно ли разбить плоскость на пятиугольники так, чтобы в каждой вершине сходились три ребра? Оказалось, что это классическая задача паркета. Есть запрет — вы не можете разбить плоскость только на пятиугольники.
И вот как-то в ходе лекции я спросил: «Ну, хорошо, я не могу разбить плоскость так, чтобы она состояла из пятиугольников и чтобы в каждой вершине сходились три ребра. А можно ли вставить один пятиугольник, а остальные будут шестиугольники?» Оказалось, что можно. А два? Можно. Три? Можно. Четыре? Можно. Пять? Можно. Шесть? Можно.
— Сколько же можно?
— Все, дальше нельзя! Какой бы умелец ни пытался, это невозможно. Вы представляете?
— А почему так? Почему все устроено так, а не по-другому?
— Это закон математики. Когда говорят, что математики делают открытия и доказывают теоремы, на самом деле каждый должен понимать, что математик решает задачу: дано нечто, и надо узнать, что из этого вытекает, а что не может вытекать.
Вот еще пример, тоже недавний. Графен, как я сказал, — математическая плоскость, разбитая на шестиугольники. Мы можем свернуть эту плоскость в трубочку, как ковер. У вас получится поверхность бесконечной трубы, разбитая на шестиугольники. Теперь вы берете ножницы и по ребрам шестиугольников вырезаете конечный кусок трубы, так называемую открытую нанотрубку. Чтобы получить закрытую нанотрубку, надо слева и справа приклеить такие шапочки, чтобы в результате получилась замкнутая, разбитая на многоугольники поверхность, у которой в каждой вершине сходятся по три ребра. Чтобы эта поверхность была фуллереном, эти шапочки должны быть составлены не только из шестиугольников, а должны иметь 12 пятиугольников. Но сколько их может быть в каждой шапочке? И опять математический результат: в каждой шапочке должно быть по шесть пятиугольников.
Теперь вы понимаете, что математические открытия имеют прикладное значение, потому что когда вы приступаете к инженерным конструкциям, то должны уважать те законы, которые открыли математики.
Кстати, вы знаете, откуда взялось имя фуллерен?
— Нет, не знаю.
— Это тоже интересно. Был выдающийся американский архитектор и философ, которого звали Бакминстер Фуллер. Он решал инженерную задачу: построить здание в виде купола, чтобы оно при данной поверхности имело максимальный объем и при этом опоры располагались только по периметру. Он решил эту задачу. И когда химики получили молекулу С60, то увидели, что она имеет форму купола Фуллера.
Когда нобелевских лауреатов спросили: «А почему вы назвали молекулу С60 фуллереном? Ведь ее можно было назвать футбольным мячом». Если вы зайдете в мой кабинет, то увидите модель фуллерена, и каждый скажет: «Это футбольный мяч». Ответ был таков: «Футбольный мяч все знают, а Фуллера нет. Вот мы и хотим, чтобы о нем знали».
— Есть ли у вас какие-то примеры, когда отечественные ученые или архитекторы сыграли бы такую же важную роль в новых разработках или фундаментальных открытиях?
— Я уже рассказал о роли геометрии Лобачевского. Необходимо отметить Андрея Николаевича Колмогорова, гениального ученого, результаты которого преобразили математику. Если говорить ближе к моей специальности, то самое высокое мировое признание получили результаты по геометрии, полученные А.Д. Александровым и А.В. Погореловым, а по топологии — Л.С. Понтрягиным и В.А. Рохлиным.
Мой учитель Сергей Петрович Новиков в 1970 г. стал лауреатом медали Филдса за выдающиеся результаты в топологии. Он был первым из российских математиков, удостоенных этой международной премии, которая присуждается за высшие достижения в математике.
В 2020 г. С.П. Новиков был награжден Большой золотой медалью им. М.В. Ломоносова РАН «за ведущую роль в возрождении современной топологии в нашей стране, решение фундаментальных проблем топологии, теории нелинейных волн, квантовой механики и теории поля». Это высшая награда Российской академии наук. Наша математическая школа признана во всем мире, и специалисты прекрасно понимают, что без ее результатов современная математическая наука просто бы не состоялась.
Математический институт им. В.А. Стеклова был создан как институт фундаментальной математики. Нам не ставится задача получить результаты, которые немедленно найдут приложение. Учеными нашего института были получены и получаются результаты самого высокого мирового уровня.
— Как вы думаете, что из ваших нынешних исследований, имеющих фундаментальное значение, может выстрелить в будущем именно в прикладном смысле?
— На этот вопрос однозначно не ответишь. Но более чем 25 лет назад я со своими учениками стал развивать новое направление в геометрии и топологии, получившее сейчас признание как торическая топология. Дело в том, что во многих задачах мы имеем пространство, на котором действует группа. Исследованию свойств таких пространств посвящен ряд направлений современной топологии, использующих достижения теории групп и алгебраической геометрии. В нашем случае речь идет о действиях торов, которые возникают, например, когда имеется несколько коммутирующих генераторов движения. Оказывается, можно построить новую топологию, опираясь на то, что точка пространства получает дополнительные координаты, задаваемые действием тора. Эта топология получила название торической. Относительно недавно в издательстве американского математического общества вышла наша монография «Торическая топология», написанная совместно с моим учеником Тарасом Пановым. Первый вариант этой книги вышел в 2004 г. в издательстве МЦНМО под названием «Торические действия в геометрии и комбинаторике». Это название связано с тем, что методы и результаты торической топологии позволили получить ряд результатов в перечислительной комбинаторике. Среди этих результатов есть те, которые нашли приложение в математической теории фуллеренов.
В 2020 г. в Институте Филдса в Канаде был организован специальный семестр, посвященный нашей науке, и я там выступил с серией лекций. В новой монографии, которую мы готовим с моим учеником Николаем Ероховцом, будет целый раздел, адресованный физикам и химикам, о том, что дает наша наука в теории графенов и фуллеренов.
— Знаю, что одно время вы по приглашению Сергея Алексеевича Христиановича работали в Институте физико-технических и радиотехнических измерений (ВНИИФТРИ). Что за работа там была?
— ВНИИФТРИ — ведущий российский (в то время советский) метрологический институт. Метрология — наука об измерениях. Наш выдающийся ученый С.А. Христианович в то время был научным руководителем ВНИИФТРИ. Построение современных средств измерений использует фундаментальные достижения физики и химии. В результате возникает возможность построить прибор, важнейшей частью которого должна быть шкала, показывающая результат измерения. Возникают задачи: выбрать соответствующую шкалу, обосновать точность измерения в этой шкале. Для решения этих задач необходимо построить и исследовать математическую модель прибора. Мне приходилось иметь дело с такими задачами. На основании математических запретов я доказывал, что этот прибор будет работать только при определенных условиях. Если эти условия будут нарушены, то прибор не достигнет целей, ради которых он создавался. Несколько известных конструкторов были благодарны мне за результаты в этой области.
Одно из направлений исследований, которым были посвящены ряд моих работ, теперь называется «топологический анализ данных». Речь идет о прикладном статистическом анализе данных. В настоящее время это направление совершенно преобразилось благодаря современным возможностям вычислительной техники и средств графической визуализации результатов анализа. Вы, наверное, слышали, о понятии big data.
— Конечно, о нем сейчас все слышали.
— Так вот, если вы научитесь правильно обрабатывать данные именно топологическими методами, из этих данных можно получать надежные следствия, несмотря на то что массив данных очень большой. Это и есть топологический анализ данных. Часть моих учеников сейчас работают в этом направлении. Хочу отметить, что специалисты в современном топологическом анализе данных возвращаются к нашим старым работам и находят там то, что полезно для приложений в новых постановках задач.
Этому направлению принадлежит большое будущее, потому что объемы массивов данных будут нарастать, но одновременно будут возрастать возможности вычислительной техники. Как извлекать из big data надежную информацию? В решении этой задачи играли и будут играть важную роль результаты фундаментальной математики.
Вот еще один пример из области моих научных интересов. В 1979 г. Годфри Хаунсфилду и Аллану Кормаку была присуждена Нобелевская премия по физиологии и медицине с формулировкой «за разработку компьютерной томографии». Хаунсфилд — инженер, Кормак — математик. В те годы успехи вычислительной томографии оказались в центре внимания многих ученых. Меня как специалиста по фундаментальной математике и по математическим методам анализа данных стали приглашать на семинары в академические и прикладные институты, чтобы я объяснил принципы работы компьютерного томографа. Журнал «Природа» заказал популярную статью на эту тему, и мы с С.Г. Гиндикиным ее опубликовали под названием «От принципа Кавальери к вычислительному томографу».
— Кавальери тоже архитектор?
— Нет, это средневековый математик. В 1615 г. он опубликовал книгу «Стереометрия винных бочек», в которой предложил формулы, в то время актуальные, вычисления объемов винных бочек. На самом деле он разработал метод вычисления площадей геометрических фигур и объемов геометрических тел. Оказалось, что принцип, который разработал Кавальери, через много веков, по существу, был реализован в математическом аппарате компьютерного томографа.
— Потрясающе!
— Давайте рассмотрим математическую модель компьютерного томографа. Забудем про рентгеновскую установку и про коэффициент линейного поглощения рентгеновского излучения. Измерительная информация поступает на обработку. Спросим: что с ней делает математический аппарат томографа? Ответ: он решает хорошо известную математикам задачу: даны матрица А и вектор Y, найти решение уравнения АХ = Y.
Многие улыбнутся и скажут: «Возьмите университетский учебник или учебник для втузов, там есть алгоритм решения этой задачи». А я отвечу: если вы возьмете данные, поставляемые компьютерным томографом, и примените тот алгоритм, которому вас научили в университете или втузе, то даже с использованием суперкомпьютера вам придется ждать ответа более 30 лет.
— Выходит, задачу решить нельзя?
— Да, в случае общей матрицы А при таком объеме данных вы задачу не решите, опять запрет. Но кто вам сказал, что матрица А должна быть общего вида? В случае компьютерного томографа матрица А имеет такую специальную структуру, для которой математика предлагает алгоритм решения задачи в реальное время. Можно привести еще много примеров задач, которые в общем случае не имеют решения, но в ряде случаев прекрасно решаются, если учесть специфику входной информации.
— То есть нельзя, но если очень хочется, то можно?
— Не всегда. Но в ряде случаев можно с помощью математика, который решит задачу специфики входной информации. Важно, чтобы люди понимали роль фундаментальной математики. Мне кажется, что далеко не все это понимают. Многие думают, что ученые, особенно математики, занимаются какими-то своими непонятными исследованиями, никому, кроме них, не нужными.
Да, многие фундаментальные открытия в математике далеки от приложений в данный момент. Но многовековой опыт науки дает много примеров, когда эти открытия со временем обеспечивают прорыв как в естествознании, так и в технологиях. В этом и заключается непостижимая эффективность фундаментальной математики.
С другой стороны, есть совершенно замечательная область науки — прикладная математика. Главная ее цель — методами математики решить прикладные задачи, в том числе показать, какая дополнительная информация необходима для преодоления трудностей общего математического случая.
— Иначе говоря, получается, что математика нужна не только физикам или химикам, — она нужна абсолютно каждому человеку, включая гуманитариев. Она нужна в конкретной жизни, потому что приложений неисчерпаемое количество, и мы не знаем, какие будут новые.
— Это правильно. Но есть еще один аспект, о котором надо всегда помнить. Математика занимает большое место в школьном образовании. Казалось бы, зачем уделять так много времени изучению математики в школе, если 90% учащихся потом не будут использовать полученные знания? И в этом глубочайшая ошибка. Потому что, обучаясь математике, человек учится мыслить логически. Человек, столкнувшийся с математическими методами, иначе мыслит. Процессы доказательства теорем и решения математических задач реализуются практически во всех областях науки и в вопросах повседневной жизни. Поэтому, когда мы говорим о роли математики, не надо забывать о ее роли в образовании современного человека.
