Исследователи МГУ совместно с коллегами из Тамбовского государственного университета предложили усовершенствованные методы Ньютона и Гаусса–Ньютона, которые эффективно решают задачи с кусочно-гладкими функциями. Новые подходы обеспечивают глобальную сходимость алгоритмов и применимы в сложных инженерных и экономических моделях. Работа опубликована в журнале «Вестник российских университетов. Математика».
Современные задачи оптимизации часто включают уравнения с кусочно-гладкими функциями, которые представляют собой сочетание участков гладкости с возможными точками разрыва гладкости или другими сложностями. Такие функции встречаются в моделях экономических процессов, управлении сложными системами, анализе данных и других приложениях. Традиционные методы оптимизации, включая классические алгоритмы Ньютона, сталкиваются с ограничениями при работе с такими функциями из-за их сложности.
Учёные ВМК МГУ предложили новый подход, который решает проблему сходимости для задач с кусочно-гладкими функциями. Новая методика включает в себя модификации классических методов Ньютона и Гаусса–Ньютона. Эти методы обеспечивают устойчивую работу алгоритмов даже в условиях сложных ограничений и особенностей функции. Одной из ключевых инноваций является введение страховочных шагов. В ситуациях, когда классический шаг метода Ньютона невозможен, алгоритм переключается на градиентные шаги. Это позволяет сохранять направление движения алгоритма к решению и предотвращать остановки в точках, где классические методы теряют эффективность.
Алгоритмы также включают процедуру одномерного поиска, которая позволяет контролировать длину шага так, чтобы обеспечить глобальную сходимость.
«Наши методы позволяют работать с задачами, где классические подходы часто останавливаются или дают некорректные результаты. Это значительное достижение для анализа реальных систем», — отметил профессор по кафедре исследования операций ВМК МГУ Алексей Измаилов.
Проведённый анализ доказал, что предложенные методы обеспечивают глобальную сходимость алгоритмов. Это означает, что решение будет найдено независимо от выбора начальной точки. Более того, если решение удовлетворяет определенным естественным предположениям, скорость сходимости является сверхлинейной или даже квадратичной, что делает метод особенно эффективным.
Результаты работы имеют широкое применение. В экономике методы помогут анализировать сложные системы с ограничениями. В инженерных задачах они могут использоваться для управления системами с нелинейными характеристиками. В области машинного обучения предложенные подходы могут найти применение для оптимизации алгоритмов с кусочно-гладкими функциями ошибки.
Новизна методов заключается не только в их способности работать с кусочно-гладкими функциями, но и в их адаптивности к различным типам задач. Это делает их универсальным инструментом, который можно применять в различных научных и инженерных областях.
Источник информации: ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова
Источник фото: ru.123rf.com
