Математики доказали, что внутреннюю структуру объекта можно определить на основе анализа проходящих сквозь объект волн, пишет Nature, в редакцию которого поступила статья с доказательством. После рецензирования математическим сообществом авторы намерены опубликовать статью на Arxive.org.
Как узнать, что внутри объекта, не разрушая его? Для этого надо просветить объект различными типами волн, например, сейсмическими или рентгеновскими. Будет ли это достаточно? На этот вопрос призвана ответить гипотеза краевой жесткости в рамках римановой геометрии, описывающей искривленное пространство. Она гласит, что зная длины самых коротких путей между точками на границе, можно определить кривизну по всему объекту. Если это так, то измеряя скорость волн внутри пространства, можно определить самый короткий путь и теоретически узнать всю структуру.
Гипотеза восходит к 1981 году, когда ее сформулировал математик Рене Мишель (René Michel). Один из авторов нынешний статьи Гюнтер Ульманн (Gunther Uhlmann), математик из Университета Вашингтона, работал над решением гипотезы с конца 1990-х. Ранее он с коллегами решил эту задачу для риманова пространства в двух измерениях. Нынешняя работа подтверждает гипотезу для риманова пространства в трех измерениях.
В эйнштейновском пространстве-времени искривление вызывает гравитационное линзирование — явление, известное астрономам. Это когда путь света отклоняется массивным объектом, таким как звезды. Сходная математика применяется к обычному линзированию, или рефракции: лучи света или звуковые волны смещаются, когда изменяется среда, в которой они движутся.
В случае сейсмических волн, генерируемых во время землетрясений, разные свойства Земли на разной глубине означают, что короткий путь для таких волн обычно не прямая линия, а кривая. С начала 90-х геофизики использовали этот факт чтобы картировать внутреннюю структуру планеты и именно так они открыли мантию, внутреннее и внешнее ядро. Эти открытия были сделаны с использованием упрощенных допущений. До сих пор было неясно, можно ли полностью узнать структуру Земли только по времени путешествия волн. Именно это доказали математики Андреас Вази (András Vasy) из Стенфорда и Ульманн с коллегами.
В отличие от допущения Мишеля они исходили из того, что изучаемая структура имеет концентрические слои. Это позволяет решать задачу по этапам. «Вы идете слой за слоем, как будто чистите лук», — цитирует Ульманна издание. На практике этой означает, что ученые не только знают, что есть одно решение проблемы, но они также знают способ дать однозначное решение.
По словам Вази, эта работа поможет ученым развивать не только сейсмологию, но и технику медицинского сканирования, например, ультразвуковую.
