Стройная, строгая и надежная – такой математика и по сей день представляется многим из нас. Нет у человечества языка более ясного, мы привыкли полагаться на нее как на инструмент, который никогда не подведет. И потому такой пугающей кажется идея, что в этой формальной системе всегда будут оставаться черные пятна, а казавшиеся верными утверждения в любой момент могут обернуться ложью. Или наоборот – не будут доказаны никогда.

Теорема австрийского математика Курта Гёделя, опубликованная 1 декабря 1931 г., приводит нас именно к таким выводам. Небольшая работа неизвестного тогда еще преподавателя Венского университета разрушила мечту о стройной и надежной математике, оставив в ней дыру противоречивости. Но чтобы понять, как это произошло, нужно сперва узнать, откуда взялась та самая мечта. За полвека до Гёделя, в 1874 г., научный мир пошатнула теория множеств Георга Кантора. Этот немецкий математик размышлял о «коллекциях» объединенных по какому–либо признаку вещей: множество обуви в чьем–то шкафу, множество всех зданий на планете Земля, множество положительных целых чисел или даже множество всех множеств.

 

Теория множеств Кантора

Особое внимание Кантор уделил группам разнообразных чисел – натуральных (целых и положительных) и реальных (которые можно представить в виде обычной или бесконечной дроби). Он задался вопросом: чего больше, натуральных чисел или реальных чисел на отрезке от нуля до единицы? Кажется, что вопрос этот бессмысленный, поскольку оба множества бесконечны. Но Кантору удалось показать, что они не равны – вторая бесконечность была больше первой.

Георг Кантор

Георг Кантор

Источник фото: tyzden.sk

Теория расколола математиков на два лагеря. Первый, названный «формалистами» и условно возглавляемый академиком Давидом Гильбертом, с радостью принял новый инструмент. Второй, названный «интуитами» и поддерживаемый видными математиками Кронекером и Пуанкаре, отрицал идеи Кантора как вредные.

Интуиты указывали на многие внутренние парадоксы теории. Представим себе множество всех множеств – оно, помимо прочего, будет включать и само себя. Кому–то уже это может показаться странным, ведь такая «коллекция» вещей явно нарушает законы привычной логики. Но почему бы не пойти дальше? Что делать с множеством всех множеств, не включающих самих себя? Должно ли оно включать себя? Правильный ответ: и да, и нет. Парадокс.

Но формалисты не были готовы отказываться от достижений Кантора так просто. Парадоксы, вызванные ссылками множеств на самих себя, были искусственно убраны из теории при помощи некоторых дополнительных ограничений. Гильберт был уверен, что теория множеств поможет ему достигнуть мечты – создания строгого, стройного и надежного математического языка.

Давид Гильберт

Давид Гильберт

Источник фото: nplus1.ru

Этот язык должен был стать универсальной системой математических доказательств, в которой сложнейшие теоремы можно было бы свести к простой арифметике. Любая идея в ней была бы записана при помощи ясных аксиом, и в результате математика избавилась бы от противоречий. Система в теории могла бы «объяснить» даже саму себя.

Программа Гильберта включала в себя три важных задачи: доказать, что математика полна, непротиворечива и разрешима. Простыми словами это означает, что любое истинное утверждение в математике должно быть возможно формально обосновать, не получив парадокса, и при этом следуя четкому алгоритму.

«Мы должны знать. Мы будем знать», – такими словами Гильберт закончил речь об этих задачах, которую произнёс в 1930 г. на научной конференции в Кенигсберге. По иронии судьбы, на этой самой конференции Курт Гёдель впервые обнародовал результаты своих исследований, которые впоследствии разрушат мечту Гильберта. Вновь, как и в случае с теорией множеств, главной проблемой формализма оказались ссылки системы на саму себя.

 

Гёдель и неполнота

В чем же заключается суть теоремы Гёделя о неполноте? Представим, что у нас есть полная и разрешимая система аксиом. То есть в ней любое истинное утверждение можно доказать, следуя четкому алгоритму. Каждое утверждение в этой системе имеет свой индивидуальный номер, и номеров таких – бесконечное количество, как и самих утверждений.

Курт Гёдель

Курт Гёдель

Источник фото: gazzettafilosofica.net

Возьмем из этого бесконечного списка утверждение А. Оно гласит: «Утверждение А логически недоказуемо». Истина это или ложь? Ответ: и то, и другое одновременно. Мы находимся в системе аксиом, где все что угодно можно доказать или опровергнуть, и в результате пришли к парадоксу. А ведь кроме полноты и разрешимости мы пытались добиться непротиворечивости.

Гёдель приходит к выводу: непротиворечивая формальная система не может быть полна. В ней всегда будут оставаться предположения, истинность или ложность которых будет невозможно доказать. А это значит, что на некоторые вопросы математики мы никогда не получим точного ответа, а многие верные предположения так и останутся предположениями.

«Мы должны знать. Мы будем знать». Сколь бы привлекательной ни была мечта Гильберта, на деле мы не знаем. И в некоторых случаях не узнаем никогда. Но в попытках найти ответы на неразрешенные вопросы мы раз за разом будем натыкаться на новые открытия. Ведь выяснить, является ли что–либо недоказуемым, можно лишь попытавшись.

 

Материал подготовлен по открытым источникам

Фото на странице: gazzettafilosofica.net

Фото на главной странице: Википедия