Ученые факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ совместно с коллегой из Техасского женского университета (США) использовали известную модель «хищник-жертва» для разработки оптимальных протоколов комбинированного лечения рака крови. Таким образом, им удалось определить эффективное сочетание «жесткой» и «мягкой» терапии при самых разных начальных состояниях пациента.
В настоящее время раковые заболевания входят в число основных причин гибели в мире. При этом 70% смертности от них приходится на страны с низким и средним уровнем доходов. Особое место занимают раковые заболевания крови, которые влияют на образование и функционирование клеток этой ткани, особенно лейкоцитов, выполняющих в организме защитные функции. Патологически измененные клетки не только не работают сами, но и постепенно вытесняют своих здоровых сородичей. В результате поражаются все системы органов, сопротивляемость инфекциям падает, и любая из них может стать смертельной. Выживаемость при онкозаболеваниях крови у взрослых пациентов составляет около 50%.
Благодаря достижениям в диагностике и лечении раковых заболеваний крови перспективы пациентов с этими заболеваниями значительно улучшились за последние несколько десятилетий. Это связано не только с совершенствованием традиционных методов (химиотерапия, лучевая терапия, пересадка костного мозга), но и с появлением новых (таргетная терапия, иммунотерапия), а также с использованием комбинированных подходов. Однако многие вопросы остаются нерешенными, включая оптимальные сроки и схемы дозирования, преимущества комбинированных методов, способы предотвращения лекарственной устойчивости и неэффективности лечения.
Производство новых противораковых препаратов занимает много времени, сопряжено с риском и требует дорогостоящих медицинских экспериментов. В качестве дополнения к проводимым клиническим испытаниям оказывается весьма продуктивным математическое моделирование, поскольку оно позволяет понять различные механизмы раковой активности и предложить эффективное недорогое комбинированное лечение. К настоящему времени для определения эффективных методов лечения было предложено множество самых разнообразных математических моделей, в том числе использующих теорию оптимального управления.
Исследование сотрудников факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова и Техасского женского университета (США) посвящено проблеме создания математической модели комбинированного лечения ракового заболевания крови, осуществляемого в два этапа. На первом этапе пациент подвергается мощному воздействию терапии, способной ликвидировать заболевание или, по крайней мере, свести к минимуму его последствия. На втором этапе пациент использует лекарственные препараты или терапию, чтобы поддержать свой организм в достигнутом положительном состоянии.
На заданном временном отрезке рассматривается двумерная модель конкуренции Лотки-Вольтерры, более известная как модель «хищник-жертва». Она с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений описывает взаимодействие между концентрациями здоровых и раковых клеток при двухэтапном комбинированном лечении ракового заболевания крови. В эту модель введены две ограниченные управляющие функции, каждая из которых отражает воздействие терапии на здоровые и раковые клетки. Момент перехода от первого этапа лечения ко второму не фиксирован — он, как и неизвестные управляющие функции, находится в результате решения задачи минимизации целевой функции, которая оценивает качество используемого комбинированного лечения. В конце концов, удается рассчитать, каким образом добиться увеличения количества здоровых клеток и снижения количества опухолевых.
«Таким образом, в результате численных расчетов нами получены различные оптимальные протоколы комбинированного лечения рака крови, которые зависят от начального состояния пациента и от характеристик применяемых терапий», — отметил доцент кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ Евгений Хайлов.
Результаты исследования опубликованы в журнале «Труды Института математики и механики УрО РАН».
Информация предоставлена пресс-службой МГУ
Источник фото: ru.123rf.com
