Провести анализ симметрии уравнений, лежащих в основе современной астрофизики, – стало главной целью уральских ученых-математиков, применяющих метод группового анализа
Для того, чтобы описать физические явления, которые изучаются в теории звездообразования, а также проверить численные методы в астрофизике и других физико-математических науках, используются аналитические решения модельных уравнений. На сегодняшний день эффективным инструментом для их поиска является метод группового анализа, или так называемый, «математический микроскоп». Он позволяет выявить симметрии и построить инвариантные решения.
Такой подход российские специалисты применили для уравнений, которые моделируют движение газа с учетом сил собственного гравитационного поля. Они описали поведение политропного самогравитирующего газа и газа с нулевым давлением. Кроме того, провели групповую классификацию для уравнений динамики самогравитирующего газа. Эта теоретическая работа позволит продвинуться вперед в решении задач, связанных с изучением структуры Вселенной.
Что такое уравнения состояния, к каким выводам приводят эти расчеты, а также каким образом групповой анализ обнаруживает симметрии – на эти вопросы отвечает Игорь Иосифович Клебанов – специалист в области математической физики и математического моделирования, кандидат физ-мат. наук, доцент и старший научный сотрудник кафедры системного программирования Высшей школы электроники и компьютерных наук Южно-Уральского государственного университета (г. Челябинск).
На фото –Игорь Иосифович Клебанов – кандидат физ-мат. наук, доцент и старший научный сотрудник кафедры системного программирования Высшей школы электроники и компьютерных наук Южно-Уральского государственного университета (г. Челябинск)
Полный групповой анализ математической модели движения самогравитирующего газа проведен в теоретической работе, опубликованной в международном научном издании Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 76 (2019) 109–115.
«Наша задача состояла в том, чтобы найти все симметрии уравнений динамики самогравитирующего газа при произвольном уравнении состояния (ядро), а также все уравнения состояния, при которых появляются дополнительные симметрии (расширения группы симметрий), – сообщил Игорь Клебанов, что составило ядро научного поиска в этом исследовании, и пояснил далее – Уравнением состояния называется уравнение, связывающее между собой давление, плотность и температуру газа. Мы полностью решили обе задачи, базируясь на алгоритмах, разработанных С.Ли и Л.В.Овсянниковым. Выяснилось, что дополнительные симметрии появляются, как в случае хорошо известных уравнений состояния («пыль», политропный газ), так и в случае «экзотических» уравнений состояния, требующих отдельного анализа. Прежде всего, необходимо понять, могут ли реально существовать системы с такими уравнениями состояния, если могут, то, что это за системы».
Уральские ученые изучают уравнения, которые моделируют газ с учетом сил собственного гравитационного поля методом группового анализа, который, как рассказал Клебанов, «представляет собой поиск симметрий, допускаемых дифференциальными уравнениями. Под симметриями понимают преобразования зависимых и независимых переменных, при которых вид уравнений не меняется. Алгоритм расчета симметрий дифференциальных уравнений был изобретен норвежским математиком Софусом Ли (1842-1899) в 19 веке. Активно применяется в прикладных исследованиях с середины 20 века. Знание всех допускаемых уравнением (или системой уравнений) симметрий позволяет находить новые решения, «незаметные» без группового анализа. Выдающийся специалист в области группового анализа Наиль Ибрагимов (1939-2018) остроумно назвал этот метод «микроскопом математического моделирования».
Активный интерес прикладного математика к групповому анализу математических моделей, вызван, прежде всего, по словам Клебанова, «большими возможностями группового анализа, позволяющего найти либо точные аналитические решения сложных уравнений, либо упростить уравнения так, что они будут легко решаться численно.
В своих работах Игорь Клебанов опирается на наследие школы академика Льва Овсянникова из Новосибирска (групповой анализ уравнений классической газодинамики). Он объяснил свой выбор тем, что «программа "Подмодели", предложенная академиком Л.В.Овсянниковым (1919-2014) около 30 лет назад для уравнений классической газодинамиики, представляет собой универсальный подход к любой содержательной математической модели, допускающей достаточно широкий набор симметрий».
Ученые Южно-Уральского государственного университета стремятся создать свою подобную программу, взяв за основу математические алгоритмы программы Овсянникова, и начали разработку программы «Подмодели» для уравнений газодинамики с учетом самогравитации. Но трудность в том, что, по замечанию Клебанова, «необходимо получить полный набор инвариантных решений (то есть решений, вид которых не меняется при тех или иных преобразованиях симметрии),а для этого необходима работа большого коллектива высококвалифицированных математиков».
В течение года исследования проводились специалистами двух вузов: Южно-Уральского государственного университета (Национального исследовательского университета) и Челябинского государственного университета (г. Челябинск). Для решения трудоемкой задачи групповой классификации И.И.Клебановым были приглашены к сотрудничеству: канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического анализа ЧелГУ Панов Александр Васильевич, доктор физ.-мат.наук, профессор кафедры математического анализа ЧелГУ Воронин Сергей Михайлович и кандидат физ.-мат.наук, старший научный сотрудник федерального ядерного центра им. акад. Забабахина (г. Снежинск, Челябинская область) Адарченко Владимир Анатольевич.
Какое значение имеют эти расчеты для прикладной математики и астрофизики и есть ли уже экспериментальные подтверждения данной математической модели?
«Цитируя выше Наиля Ибрагимова, я уже говорил, что групповой анализ подобен микроскопу, позволяющему увидеть новые решения модельных уравнений, – отвечает Игорь Клебанов – Нам удалось найти некоторые новые решения, представляющие интерес для астрофизиков. Экспериментальная проверка является делом будущего».
Работа по изучению симметрий уравнений заставляет специалистов находить альтернативные варианты, поскольку математическая модель является ключом к пониманию многих физических процессов и явлений.
«В ходе реализации нашей программы мы будем искать новые аналитические решения уравнений газодинамики с учетом самогравитации, а также проведем групповой анализ более сложных уравнений, учитывающих влияние на самогравитирующий газ электромагнитного поля. Учет влияния электромагнитного поля делает модель более реалистичной», – конкретизирует научные цели последующих исследований сотрудник ЮУрГУ Игорь Клебанов.
