Студент университета Макгилла (Канада) Александр Клотц (Alexander Klotz) уточнил вычислил время падения тела до центра Земли в сквозном туннеле. Обычно в этой классической задаче плотность Земли принимают однородной, а Клотц взял реальную плотность, которая меняется от поверхности к ядру, и вместо обычных 42 минут получил 38 минут. Решение задачи студент опубликовал в журнале the American Journal of Physics, а ее популярное изложение приводит Science.
Представим себе туннель, прорытый сквозь Землю, через ее центр. Мы стоим на поверхности Земли у края туннеля и бросаем туда тело. Оно свободно падает вниз. Вопрос: сколько времени займет полет тела до центра Земли? Такую задачу обычно студенты решают на экзаменах. Решение требует знания законов Ньютона и колебательных уравнений. В процессе решения нужно вычислить, как изменяется сила гравитации (и ускорение свободного падения) для объекта, который падает через тоннель.
В самом простом случае Землю рассматривают как бильярдный шар, имеющий однородную плотность, примерно 5500 кг/м3. В этом случае по мере приближения тела к центру Земли изменяется и сила гравитации, которая на него действует. Это происходит потому, что количество массы Земли ниже и выше положения тела в туннеле различаются. Здесь используют теорему Ньютона об отсутствии гравитации внутри, получившую название от того, что в центре планеты гравитация будет нулевая. Пролетев центр Земли, тело падает дальше — к другой стороне туннеля, и, достигнув его противоположного конца, падает обратно. Так оно совершает колебания по туннелю, как маятник.
Александр Клотц сделал простую вещь — он взял реальную плотность планеты, которая, вообще говоря, не одинакова в разных ее частях и слоях. Земная кора и мантия — менее плотные, чем ядро. Реальное распределение массы он взял из Preliminary Reference Earth model, построенной на сейсмических данных. Эта модель дает у поверхности Земли плотность менее 1000 кг/м3 и примерно 13000 кг/м3 — в центре ядра. Расстояние от поверхности до центра Земли равно 6371 км. Приняв эти условия, Клотц вычислил, что тело будет падать по туннелю до центра Земли 38 минут 11 секунд. Для сравнения, время падения в задаче с Землей однородной плотности составляет 42 минуты 12 секунд.
