Материалы портала «Научная Россия»

Одну из знаменитых "проблем тысячелетия" решил математик из Казахстана

Одну из знаменитых "проблем тысячелетия" решил математик из Казахстана
71-летний профессор Мухтарбай Отелбаев может стать обладателем премии в один миллионов долларов

 71-летний профессор Мухтарбай Отелбаев (Mujtarbay Otelbayev) может стать обладателем премии в один миллионов долларов, которую в 2000 году учредил частный Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) в Массачусетсе за решение математической задачи из списка, определенного институтом как «проблемы тысячелетия» (Millenium Prize Problems). Это, как сказано в положении о премии, «важные классические задачи, решение которых не найдено в течение многих лет».

Мухтарбай Отелбаев в настоящее время – директор математического института при Евразийском национальном университете имени Л.Гумилева в Алматы. В распространенном 10 января пресс-релизе университета сообщается о том, что он завершил и опубликовал в казахстанском «Математическом журнале» работу под названием «Существование сильного решения уравнения Навье-Стокса».

Эта задача считается одной из самых важных задач гидродинамики, и последней из нерешенных проблем классической механики. Мухтарбай Отелбаев начал заниматься ею еще в 1980 году, то есть задолго до возникновения института Клэя. Решение, представленное казахским ученым, должно будет пройти экспертизу математического сообщества, на что, возможно, уйдет около года. В случае его подтверждения дополнительный математический аппарат получат многие инженерные области, в частности, аэронавтика. Вариации уравнений Навье-Стокса используются для описания движения воздушных масс атмосферы, в частности при формировании прогноза погоды. Одним из применений системы уравнений Навье-Стокса также является описание течений в мантии Земли (это «проблема динамо»).

В своей статье Мухтабар Отелбаев отмечает большое количество работ, посвященных существованию и гладкости решений уравнений Навье-Стокса задолго до того, как эта проблема вошла в список института Клэя. В частности, он обращает внимание на глубокие результаты, полученные советским-российским математиком Ольгой Ладыженской. Свой труд профессор Отелбаев посвятил учителям.

Задачи тысячелетия (Millennium Prize Problems) составляют семь математических проблем, охарактеризованных как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет». За решение каждой из этих проблем  институтом Клэя предложен приз в 1 миллион долларов США.

1.Равенство классов P и NP

Эта задача является одной из важнейших задач в теории алгоритмов. В чем ее суть? 
Предположим, что вы организуете размещение группы из четырехсот студентов университета. Количество мест ограничено, и только сто студентов получат места в общежитии. Ситуация усложняется тем, что декан предоставил вам список пар студентов, которые не могут жить вместе, и просил, чтобы ни одна пара из этого списка не попала в окончательный вариант. Это пример того, что ученые-компьютерщики называют NP-задачей. Легко проверить, будет ли данный выбор ста студентов, предложенный сотрудником, удовлетворительным (т.е. никакая пара студентов из списка вашего коллеги не фигурирует в списке из деканата), однако задача создания такого списка с нуля, кажется абсолютно невыполнимой. Действительно, общее число способов выбора ста студентов из четырехсот претендентов больше, чем количество атомов в известной вселенной! Таким образом, никакая будущая цивилизация не может даже надеяться построить суперкомпьютер, способный решить эту задачу с помощью грубой силы, то есть проверяя все возможные комбинации 100 студентов. Однако эта кажущаяся трудность может только отражать отсутствие изобретательности вашего программиста. В самом деле, одной из нерешенных проблем в области компьютерной науки является определение того, существуют ли вопросы, ответы на которые можно быстро проверить, но которые требуют невозможно долгого времени для решения любым прямым методом. Задачи, подобные той, что указана выше, конечно, кажутся задачами такого рода, но до сих пор никто не смог доказать, что какая-то из них на самом деле так сложна, как кажется, т.е. что действительно нет возможности получить ответ с помощью компьютера. Стивен Кук и Леонид Левин сформулировали задачу сравнения классов P (то есть легко найти) и NP (то есть легко проверить) в 1971 году.

Последней из многочисленных попыток решить эту задачу была попытка индийского математика Винэя Деолаликара. По мнению автора формулировки проблемы, Стивена Кука, это решение было «относительно серьёзной попыткой решить проблему P vs NP». Но, к сожалению, в представленном доказательстве был найден ряд ошибок, которые автор пока не смог исправить.

2.Гипотеза Ходжа

В ХХ веке математики открыли мощный способ исследовать формы сложных объектов. Основная идея метода состоит в том, чтобы выяснить, в какой степени мы можем аппроксимировать форму данного объекта склеиванием простых геометрических блоков возрастающей размерности. Эта методика оказалась настолько полезной, что ее обобщали различными способами, в конечном счете давшими мощные инструменты, который позволили математикам сильно продвинуться в каталогизации различных объектов, с которыми они сталкиваются в своих исследованиях. К сожалению, геометрическое происхождение метода стало скрытым в этом обобщении. В некотором смысле было необходимо добавить кусочки, которые не имели геометрической интерпретации. Гипотеза Ходжа утверждает, что для особенно хороших типов пространств, называемых проективными алгебраическими многообразиями, части, называемые циклами Ходжа, являются на самом деле (рациональными линейными) комбинациями геометрических частей, называемых алгебраическими циклами.

3.Гипотеза Пуанкаре

Гипотеза Пуанкаре на сегодняшний момент является единственной из семи задач тысячелетия, которая была решена. Отрадно заметить, что автором решения стал наш соотечественник Григорий Яковлевич Перельман. По-простому, суть проблемы в следующем. Если взять яблоко и обтянуть его резиновой пленкой, то мы, с помощью деформаций, не разрывая пленку, можем превратить яблоко в точку или кубик, но никоим образом не сможем превратить его в бублик. Кубик, трехмерная сфера и даже трехмерное пространство идентичны друг другу, с точностью до деформации.

Почти столетие прошло между формулировкой вопроса в 1904 году Анри Пуанкаре и ответом на него Григорием Перельманом, который был дан в 2002 году. Решение Перельмана было основано на теории Ричарда Гамильтона о потоках Риччи, и использовало результаты на пространстве метрик, принадлежащие Чигеру, Громову и самому Перельману. В своих работах Перельман доказал также геометрическую гипотезу Уильяма Терстона, частным случаем которой является гипотеза Пуанкаре.

4.Гипотеза Римана.

Однажды у знаменитого математика Давида Гильберта спросили: «Каковы будут ваши первые действия, если вы проспите 500 лет и проснетесь?» — «Я спрошу, доказана ли гипотеза Римана». Гипотеза Римана является, наверное, самой известной (наряду с гипотезой Пуанкаре) из семи задач тысячелетия.  Многие алгоритмы и утверждения в теории чисел были сформулированы с допущением, что вышеуказанная гипотеза верна. Таким образом, доказательство справедливости гипотезы Римана

 5.  Теория Янга — Миллса.

Законы квантовой физики в мире элементарных частиц играют ту же роль, что и законы Ньютона классической механики в макроскопическом мире. Почти полвека назад Янг и Миллс ввели новую замечательную концепцию для описания элементарных частиц с помощью структур, которые встречаются также в геометрии. Квантовая теория Янга-Миллса в настоящее время является основой большей части теории элементарных частиц, и ее предсказания были проверены во многих экспериментальных лабораториях, но ее математическая основа остается неясной. Успешное применение теории Янга-Миллса для описания сильных взаимодействий элементарных частиц зависит от тонкого квантово-механического свойства, которое называют дефектом массы: квантовые частицы имеют положительную массу, хотя классические волны распространяются со скоростью света. Это свойство было обнаружено физиками в экспериментах и подтверждено компьютерным моделированием, но оно до сих пор непонятно с теоретической точки зрения. Прогресс в создании теории Янга-Миллса и дефекта массы потребует новых фундаментальных идей как в физике, так и в математике.

6.  Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Одна из самых важных задач гидродинамики, и последняя из нерешенных проблем классической механики. Волны следуют за нашей лодкой, когда мы плывем по озеру, и турбулентные потоки воздуха сопровождают наш полет в современном самолете. Математики и физики полагают, что объяснение и предсказание таких явлений, как ветер и турбулентность, могут быть найдены на основе понимания решения уравнений Навье-Стокса. Хотя эти уравнения были получены в 19-м веке, наше понимание их остается минимальным. Задача состоит в том, чтобы добиться существенного прогресса на пути к математической теории, которая откроет тайны, скрытые в уравнении Навье-Стокса.

7. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Последняя из проблем тысячелетия — это гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера. Математики всегда были увлечены задачей описания всех целочисленных решений простых алгебраических уравнений, для которых полное решение дал еще Евклид. Однако для более сложных уравнений это сделать крайне тяжело. Действительно, в 1970 году Ю.В. Матиясевич показал, что десятая проблема Гильберта неразрешима, т. е. не существует общего метода определения, когда такие уравнения имеют решения в целых числах. Но в некоторых случаях можно надеяться что-то получить. Данная гипотеза единственный относительно простой способ определения ранга эллиптических кривых, которые, в свою очередь, являются основными объектами изучения современной теории чисел и криптографии.

 

 

Источник: hijos.ru

clay mathematics institute millennium prize problems григорий перельман мухтарбай отелбаев уравнение навье-стокса

Назад

Социальные сети

Комментарии

Авторизуйтесь, чтобы оставить комментарий