Блестящего математика, лауреата Нобелевской премии 1994 года по экономике Джона Нэша, трагически погибшего в мае 2015 года в автокатастрофе, знает весь мир. Но мало кто сможет вспомнить открытия ученого и рассказать о его вкладе в науку.
Знает публика Нэша потому, что его биография легла в основу книги и популярнейшего художественного фильма, снятого по ней, известного в российском прокате под названием «Игры разума» (в оригинале — «A Beautiful Mind»). Впрочем, знакомые с биографией отметят, что события фильма уж очень далеко отошли от реальной биографии реального человека.
Увы, в российских новостных лентах после гибели ученого можно было увидеть неприличные заголовки вроде «Удостоенный Нобелевской премии шизофреник погиб в автокатастрофе». Борьба с болезнью — безусловно, важная часть биографии Джона Нэша и вдохновляющий пример для многих. Но ученый получил Нобелевку, а совсем недавно и престижную математическую Абелевскую премию, все же совсем не за то. В историю войдут его работы по теории игр и дифференциальной геометрии. И это та самая математика, которая кажется обывателю слишком абстрактной и далекой от жизни, а на деле шаг за шагом меняет наш мир.
Некооперативные игры и Нобелевка
«За анализ равновесия в теории некооперативных игр» — за этой формулировкой скрывается та работа, которая сделала Джона Нэша в 1994 году лауреатом Нобелевской премии по экономике. На самом деле, сделана она была еще в 1949 году и легла в основу диссертации Нэша, которому на тот момент был всего 21 год.
Это самое равновесие, получившее название равновесие Нэша, уже давно изучают в университетах математики всего мира. Это одна из основ теории игр — раздела математики, применяющегося во множестве прикладных сфер, в том числе в экономике.
В задачи теории игр входит изучение стратегий поведения игроков. В некооперативных играх игроки не могут объединять усилия для достижения результата, и теория некооперативных игр анализирует и рассчитывает, как должны действовать игроки, чтобы прийти к определенному результату. Под игрой здесь понимается, конечно, не только и не столько игра карточная или спортивная. Это любое взаимодействие, где или более сторон пытаются отстоять свои интересы, будь то конфликт между начальником и подчиненными или конкуренция на рынке.
Равновесие Нэша описывает ситуацию, когда ни один из участников игры не может увеличить свой выигрыш, если изменит свое решение в одностороннем порядке, а другие игроки ничего не изменят в своей стратегии. Нэш показал, что с любой игре с двумя или более участниками такая ситуация возможна. И, конечно, описал это математически.
Для понимания приведем пару примеров равновесия Нэша, и начнем с классического —«дилеммы заключенного»:
Двое преступников попались примерно в одно и то же время на сходных преступлениях. Есть основания полагать, что они действовали по сговору, и полиция, изолировав их друг от друга, предлагает им одну и ту же сделку: если один свидетельствует против другого, а второй хранит молчание, то первый освобождается за помощь следствию, а второй получает 10 лет лишения свободы. Если оба молчат, их деяние проходит по более легкой статье, и каждый из них приговаривается к всего шести месяцам заключения. Наконец, если оба свидетельствуют друг против друга, они получают по два года тюрьмы. Каждый заключенный выбирает, молчать или свидетельствовать против другого. Однако ни один из них не может знать, что сделает другой. Что произойдет?
В этой ситуации получается, что каждый из заключенных может бояться предательства, и тогда решить, что два года лучше, чем десять. Либо — что выгоднее всего им обоим — молчать. Таким образом, не сговариваясь между собой, они могут придти к некоему оптимальному в данных условиях решению. Равновесие Нэша говорит нам о том, что такой исход возможен у любой некооперативной игры.
В экономике тот же принцип хорошо виден, например, при ценообразовании. Каждый из конкурентов может установить высокую или низкую цену на товар. Казалось бы, выгодно обоим установить высокую цену, но если они лишены возможности договариваться, то каждый боится, что другой тут же установит низкую цену и переманит к себе всех клиентов. Такая ценовая война может идти какое-то время без явных успехов для обеих сторон. В итоге оказывается, что обоим выгодно удерживать некую оптимальную среднюю цену, в реальной жизни это приводит к тому, что мы часто наблюдаем — сговору конкурентов о ценовой политике.
Интересно, что равновесие Нэша используется даже в естественных науках. Так, например, им объясняется, почему волки никогда не съедают всех зайцев в лесу. Если они так поступят, то уже через поколение им нечего будет есть — в итоге, существует некое оптимальное решение внутри этой игры.
Чистая математика: дифференциальные уравнения в частных производных
Математики, хорошо знакомые с работой Нэша, в один голос говорят, что в сравнении с тем, за что ученый получил Нобелевку, его достижения в так называемой «чистой математике» на порядок важнее. Именно за эту работу Джон Нэш получил премию Абеля — самую престижную среди математиков, обделенных, как известно, Нобелевкой.
Еще с 50-х годов Нэш занимался вопросами изометрических вложений, в этой области он сформулировал две теоремы, ставшие классикой для современной математики. Объяснить эти теоремы без специального математического языка вряд ли удастся, но, упрощая, можно сказать, что речь идет о способах преобразовать абстрактную многомерную поверхность в привычную нам трехмерную евклидову, с сохранением при этом измерений.
Задача эта решается с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. Именно этой темой и занимался Нэш, и достиг в ней огромного прогресса, собственно разработав способ решать такие уравнения, что до него считалось невозможным. Сейчас эти уравнения используются уже не только непосредственно в геометрическом анализе, активно применяют их также физики.
* * *
Гибель великого математика стала трагедией для многих людей и для науки, но сами Джон и Алисия Нэш, несмотря на бурные перипетии их совместной жизни, долгие разлуки и даже развод, ближе к концу приблизились все же к классической формуле — «они жили счастливо и умерли в один день».
